高中数学第二章数列2.1.2数列的递推公式（选学）学案新人教b版必修5

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1、2.1.2　数列的递推公式(选学)1．体会递推公式是数列的一种表示方法．2．理解递推公式的含义，能够根据递推公式写出数列的前几项．3．掌握由一些简单的递推公式求数列的通项公式．1．数列的递推公式如果已知数列的______(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的________与它的前一项________(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的______公式．(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法．事实上，递推公式与通项公式一样，都是

2、关于n的恒等式，我们可用符合要求的正整数依次去替换n，从而可以求出数列的各项．【做一做1】数列2,4,6,8,10，…的递推公式是(　　)．A．an＝an－1＋2(n≥2)B．an＝2an－1(n≥2)C．an＝an－1＋2，a1＝2(n≥2)D．an＝2an－1，a1＝2(n≥2)2．通项公式与递推公式的区别与联系区别联系通项公式项an是序号n的函数式an＝f(n)都是给出数列的方法，可求出数列中任意一项递推公式已知a1(或前几项)及相邻项(或相邻几项)间的关系式【做一做2－1】已知在数列{an}中，a1＝2，an＝an－1＋2(n≥2

3、)，则{an}的通项公式是(　　)．A．3nB．2nC．nD．n【做一做2－2】在数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1－an＝1＋(－1)n(n≥2)，则a10＝________.一、通项公式与递推公式剖析：递推公式是：已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．通项公式是：一个数列{an}的第n项an与项数n之间的关系，如果可以用一个公式an＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式

4、．通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或几项)之间的关系．对于通项公式，只要将公式中的n3依次取值1,2，3，…即可得到相应的项；而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可求得其他的项．往往我们要利用各种方法将递推公式转化为通项公式，通项公式能够更直接地研究数列．递推公式也是给出数列的一种重要方法，有时并不一定要知道数列的通项公式，只要知道数列的递推公式，即可解决问题，有的递推公式与通项公式之间也可以进行互化．二、教材中的“？”(1)你能猜想出例1中这个数列的通项公式吗？剖析：数列{an}的通项公式为an＝.(2

5、)你能比较例2中an与an＋1的大小吗？你能比较an与an＋2的大小吗？剖析：不能比较an＋1与an的大小．当n为奇数时，an＋2＞an；当n为偶数时，an＋2＜an.题型由递推公式求通项公式【例】已知数列{an}，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)．(1)写出数列{an}的前5项；(2)求数列{an}的通项公式．分析：(1)中只需利用代入法依次求出a2，a3，a4，a5即可；(2)利用下列关系式①an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1；②＝－.进行累加与裂项相消即可求出{an}的通项

6、公式．反思：(1)根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．(2)累加法当an－an－1＝f(n)满足一定条件时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加来求通项公式an.1下列说法错误的是(　　)．A．递推公式也是数列的一种表示方法B．an＝an－1，a1＝1(n≥2)是递推公式C．给出数列的方法只有图

7、象法、列表法、通项公式D．an＝2an－1，a1＝2(n≥2)是递推公式2已知数列{an}的首项a1＝1，且an＝3an－1＋1(n≥2)，则a4为(　　)．A．13B．15C．30D．403已知数列{an}的第1项是1，第2项是2，以后各项由an＝an－1＋an－2(n＞2)给出，则该数列的第5项等于(　　)．3A．6B．7C．8D．94一个数列{an}的首项a1＝1，a2＝2，从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加上后一项，请写出构成这个数列的递推公式an＝________________.5已知数列{an}满足＝n(n为正整数)，

8、且a2＝6，则数列{an}的通项公式为an＝________.答案：基础知识·梳理1．第1项　任一项an　an－1　递推【做一做1】C【做一做2－1】B【做一做2－2】10　由题意，知a10－