高中数学 第二章 数列 2.1.2 数列的递推公式（选学）课后训练 新人教b版必修5

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1、2.1.2数列的递推公式（选学）课后训练1．数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋n(n≥2)，则a5为(　　)．A．13B．14C．15D．162．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－1(n≥1)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5等于(　　)．A．－1B．1C．0D．23．已知在数列{an}中，a1＝b(b为任意正数)，(n＝1,2,3，…)，能使an＝b的n的数值可以是(　　)．A．14B．15C．16D．174．若数列{an}满足：an＋1＝1－，且a1＝2，则a2012等于(　　)．A．1B．2C．D．5．若{an}的前8项的值互异，且an＋8＝an，对于n∈N

2、＋都成立，则下列数列中，可取遍{an}前8项的值的数列为(　　)．A．{a2k＋1}B．{a3k＋1}C．{a4k＋1}D．{a6k＋1}6．已知在数列{an}中，an＝2n＋1.在数列{bn}中，b1＝a1，当n≥2时，bn＝abn－1，则b4＝________，b5＝________.7．已知a1＝1，(n∈N＋)，依次写出{an}的前5项为________，归纳出an＝________.8．若数列{an}满足(k为常数)，则称数列{an}为等比和数列，k称为公比和．已知数列{an}是以3为公比和的等比和数列，其中a1＝1，a2＝2，则a2012＝________.9．已

3、知a，b为两个正数，且a＞b，设，，当n≥2，n∈N＋时，，.(1)求证：数列{an}是递减数列，数列{bn}是递增数列；(2)求证：an＋1－bn＋1＜(an－bn)．参考答案1.答案：C　由an＝an－1＋n(n≥2)，得an－an－1＝n，则a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，a5－a4＝5，把各式相加得a5－a1＝2＋3＋4＋5＝14，∴a5＝14＋a1＝14＋1＝15.2.答案：A　由已知an＋1＝－1＝(an＋1)(an－1)，∴a2＝0，a3＝－1，a4＝0，a5＝－1，∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－1.3.答案：C　∵a1＝b，，∴，，a4＝b

4、.∴{an}的项是以3为周期重复出现的．由于a1＝a4＝b，∴a7＝a10＝a13＝a16＝b.故选C.4.答案：D　由an＋1＝1－，a1＝2，得，a3＝1－2＝－1，a4＝2，…，由此可见，数列{an}的项是以3为周期重复出现的，故a2012＝a3×670＋2＝a2＝，故选D.5.答案：B　∵k∈N＋，当k＝1,2,3…时，a2k＋1、a4k＋1、a6k＋1均取奇数项，而无偶数项，∴{a2k＋1}、{a4k＋1}、{a6k＋1}不符合．而当k取以上值时，{a3k＋1}可以取遍前8项．实际上，由an＋8＝an，可以知道这个数列是个循环数列，也可称为周期数列，每隔8项，数列的

5、项就重复出现．具体情况如下：在{a3k＋1}中，当k＝1,2,3,4,5,6,7,8时，分别得到：a4，a7，a10，a13，a16，a19，a22，a25，a10＝a2＋8＝a2，a13＝a5＋8＝a5，a16＝a8＋8＝a8，a19＝a3＋2×8＝a3，a22＝a6＋2×8＝a6，a25＝a1＋3×8＝a1，这样，这个数列的项包括了数列{an}中的前8项不同的取值．6.答案：31　63　题目中的关系式也是递推关系式，不同的是两个不同的数列中的项的关系，可以逐个推导．∵an＝2n＋1，bn＝abn－1(n≥2)，∴b1＝a1＝3，b2＝ab1＝a3＝7，b3＝ab2＝a7＝

6、15，b4＝ab3＝a15＝31，b5＝ab4＝a31＝63.7.答案：1，，，，　　已知题中已给出{an}的第1项即a1＝1，根据递推公式：，将n＝2,3,4,5依次代入可得这个数列的前5项，∴，，，.∴.8.答案：210069.答案：证明：(1)易知对任意n∈N＋，an＞0，bn＞0.由a≠b，可知，即a1＞b1.同理，，即a2＞b2.可知对任意n∈N＋，an＞bn.所以an＋1－an＝－an＝＜0，所以数列{an}是递减数列．又bn＋1－bn＝，所以数列{bn}是递增数列．(2)an＋1－bn＋1＝．∴an＋1－bn＋1＜(an－bn)．