2017-2018学年高中数学人教b版选修4-1教学案：第一章 1.1 1.1.3　平行截割定理

《2017-2018学年高中数学人教b版选修4-1教学案：第一章 1.1 1.1.3　平行截割定理》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案1．1.3　平行截割定理[读教材·填要点]1．平行截割定理(1)定理的内容：三条平行线截任两条直线，所截出的对应线成比例．(2)符号语言表示：如图，若l1∥l2∥l3，则＝.2．平行截割定理的推论(1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．(2)符号语言表示：如图，若l1∥l2∥l3，则＝＝.[小问题·大思维]1．在平行截割定理中，被截的两条直线m，n应满足什么条件？提示：被截取的两条直线m、n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行直线a

2、、b、c都相交．2．若将定理中的“三条平行线”改为“三个互相平行的平面”，是否仍然成立？提示：仍然成立．利用定理证明“比例式”112017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案[例1]　已知：如图，l1∥l2∥l3，＝.求证：＝.[思路点拨]　本题考查平行截割定理及比例的基本性质．解答本题需要利用定理证得＝，然后利用比例的有关性质求出即可．[精解详析]　∵l1∥l2∥l3，∴＝＝.∴＝，＝，即＝，∴＝.解决此类问题要结合几何直观，合理地利用比例的性质，常见的性质有：(1)比例的基本性质：＝(bd≠0)⇔ad＝bc；＝(bc≠0)⇔b2＝

3、ac；＝(abcd≠0)⇔＝.(2)合分比性质：如果＝，那么＝.(3)等比性质：如果＝＝…＝(bd…n≠0，b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.1．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC交BC于D.求证：＝＋.证明：过D点作DE∥AB交AC于E点，∵∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，112017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案∴∠DAE＝60°，∠BAD＝60°.∵DE∥AB，∴∠ADE＝60°，∴AD＝DE＝AE，∴＝＝.∴＋＝＋＝＋.∵＋＝＝1，∴＋＝1.∴＋＝.利用定理证明“乘积式”[例2]　如图所示，已

4、知直线l截△ABC三边所在的直线分别于E，F，D三点，且AD＝BE.求证：EF·CB＝FD·CA.[思路点拨]　借助平行线分线段成比例定理即可证得．[精解详析]　法一：如图1，过D作DK∥AB交EC于点K，则＝，＝，即＝.∵AD＝BE，∴＝，∴＝.即EF·CB＝FD·CA.图1法二：如图2，过E作EP∥AB，交CA的延长线于点P.∵AB∥EP，∴＝，即＝.在△DPE中，∵AF∥PE，∴＝.112017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案∵AD＝BE，∴＝.∴EF·CB＝FD·CA.图2法三：如图3，过D作DN∥BC，交AB于N.∵ND

5、∥EB，∴＝，∵DN∥BC，∴＝，即＝.∵AD＝EB，∴＝，即EF·CB＝FD·CA.图3本题所作的辅助线，不仅构造了两个常见的基本图形，而且可以直接利用三角形一边的平行线的性质定理，找到与的比值关系，再借助等量代换，使问题得以突破．2.如图所示，已知直线FD和△ABC的BC边交于D，与AC边交于E，与BA的延长线交于F，且BD＝DC，求证：AE·FB＝EC·FA.证明：过A作AG∥BC，交DF于G点．∵AG∥BD，∴＝.又∵BD＝DC，∴＝.∵AG∥DC，∴＝.∴＝，即AE·FB＝EC·FA.利用定理进行计算112017-2018学年高中数学

6、人教B版选修4-1教学案[例3]　如图，已知▱ABCD中，延长AB到E，使BE＝AB，连接ED交BC、AC于F、G.求EF∶FG∶GD的值．[思路点拨]　本题考查平行截割定理及其推论的应用．解答本题需要求出EF∶FG，EF∶GD的比值，进而求出EF∶FG∶GD的值．[精解详析]　∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵BE＝AB，∴＝＝＝.设EF＝k，ED＝3k，∴FD＝2k.∵BC∥AD，∴＝＝.∴＝，∴FG＝k，GD＝k，∴EF∶FG∶GD＝k∶k∶k，即EF∶FG∶GD＝5∶4∶6.求线段长度比的问题，通常引入一个参数k，然后用所设

7、的参数k表示所求结论中的各个线段，最后消掉参数k即可得到所求结论．3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15，AF＝4，则DE＝________.解析：设DE＝x，∵DE∥AC，EF∥BC，∴＝，解得BE＝.∴＝＝＝.又∵AD平分∠BAC，∴＝＝＝，解得x＝6.112017-2018学年高中数学人教B版选修4-1教学案答案：6[对应学生用书P11]　一、选择题1．如图，AB∥CD∥EF，AF，BE相交于O，若AO＝OD＝DF，BE＝10cm，则BO的长为(　　)A.cm　　　　　B．5cmC.cmD．3cm解析

8、：∵CD∥EF，OD＝DF，∴C为OE中点，∴OC＝CE.∵AB∥CD，AO＝OD，∴O为BC中点，∴BO＝OC，∴OB＝BE＝cm.答案：A2．如图