土木工程力学教案——力系的平衡

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1、第三章力系的平衡一、平面汇交力系平衡的解析条件由公式（2—7）可知要使R=0，必须R=0，即=0上面式中和恒为正值，所以要使R=0，必须且只须（2—9）因此，平面汇交力系平衡的必要和充分的解析条件是：力系中各力在两个不平行的坐标轴中的每一轴上的投影的代数和等于零。式（2—9）称为平面汇交力系的平衡方程。它们相互独立，应用这两个独立的平衡方程可求解两个未知量。利用平衡方程求解实际问题时，受力图中的未知力指向有时可以任意假设，若计算结果为正值，表示假设的力的指向就是实际的指向；反过来，若计算结果为负值，表示假设的力的指向与实际指向相反。在实际计算中，

2、适当地选取投影轴，可使计算简化。用几何法求解时，未知力的实际指向由力多边形的封闭边来确定。力多边形中所有力都环绕力多边形的同一方向且首尾相接，利用这一条件即可确定未知力的指向。下面举例说明平面汇交力系平衡条件的应用。例2—4一物体重为30kN，用不可伸长的柔索AB和BC悬挂于如图2—11a所示的平衡位置，设柔索的重量不计，AB与铅垂线的夹角，BC水平。求柔索AB和BC的拉力。解：（1）受力分析：取重物为研究对象，画受力图如图2—11b所示。根据约束特点，绳索必受拉力。（2）先用几何法求解作力多边形，求解未知力。选取比例尺1cm代表15kN，任取一

3、点a，作ac平行于W，且，过c点作TBC的平行线，过a点作TAB的平行线，两线相交于b点。于是得到封闭的力三角形abc。从图中按比例量得TAB=34kNTBC=17kN图2—11（1）用解析法求解建立直角坐标系Oxy，如图2—11b所示，根据平衡方程建立方程求解7例2—5简易起重机如图2—12所示。B、C为铰链支座。钢丝绳的一端缠绕在卷扬机D上，另一端绕过滑轮A将重为W=20kN的重物匀速吊起。杆件AB、AC及钢丝绳的自重不计，各处的摩擦不计。试求杆件AB、AC所受的例。解：（1）取滑轮A为研究对象进行受力分析：杆件AB及杆件AC仅在其两端受力且

4、处于平衡，因此都是二力杆，设都为受拉；由于不计摩擦，钢丝绳两端的拉力应相等，都等于物体的重量W。如果不考虑滑轮的尺寸，则滑轮的受力图如图2—12b所示。（2）用几何法求解作力多边形，求未知力。取比例尺1cm表示10kN，再任选取一点a，作ab平行于T1，且ab=W；过b点作bc平行于T2，且bc=W；然后再从a点与c点分别作直线平行于力RAC和RAB，此两直线相交于d点。于是得到封闭的力四边形abcd，如图2—12c所示。根据力多边形首尾相接的矢量规则，即可确定出力RAB和RAC的指向。从图中按比例尺量得RAB=7.3kN，RAC=27kN由于力

5、多边形上各力的指向表示其实际的受力方向，所以在受力分析中RAC的指向假定错了，即杆件AC为受压力；而RAB的指向假定正确，即AB杆确实是受拉力。图2—12（3）用解析法求解取坐标轴Axy如图2—12b所示，利用平衡方程，得由于T1=T2=W=20kN，代入上式即得RAC=RAC为负值，说明AC杆受压力。解得RAB=7.321kNRAB为正值，说明AB杆受拉力。从上面计算过程可以看出，用几何法求解的特点是简单、直观，但不如用解析法计算精确。二、平面力偶系的平衡条件7平面力偶系可以合成为一个合力偶，当合力偶矩等于零时，则力偶系中的各力偶对物体的转动效

6、应相互抵消，物体处于平衡状态。因此，平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中所有各力偶矩的代数和等于零。用式子表示为（３－６）【例３－５】在梁ＡＢ的两端各作用一力偶，其力偶矩的大小分别为，转向如图３－１３（a）所示。梁长，重量不计。求Ａ、Ｂ处的支座反力。【解】：取梁ＡＢ为研究对象，作用在梁上的力有：两个已知力偶m1、m2和支座Ａ、Ｂ的反力RA、RB。如图３－１３（b）所示，Ｂ处为可动铰支座，其反力RB的方位铅垂，指向假定向上。Ａ处为固定铰支座，其反力RA的方向本属未能确定的，但因梁上只受力偶作用，故RA必须与RB组成一个力偶才能与梁上的力偶平衡

7、，所以RA的方向亦为铅垂。指向假定向下，由公式（３－６）得故求得的结果为正值，说明原假设RA和RB的指向就是力的实际指向。三、一般力系平衡条件及其应用(一)、平面一般力系平衡方程的基本形式平面一般力系向任一点简化时，当主矢、主矩同时等于零，则该力系为平衡力系。因此，平面一般力系处在平衡状态的必要与充分条件是力系的主矢与力系对于任一点的主矩都等于零，即R′=0MO′=0根据式（4－2）及式（4－4），可得到平面一般力系的平衡条件为（4－5）式（4－5）说明，力系中所有各力在两个坐标轴上的投影的代数和均等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。式（

8、4－5）中包含两个投影方程和一个力矩方程，是平面一般力系平衡方程的基本形式。这三个方程是彼此独立的（即其中的一个不能由另外两个得出），因