土木工程力学教案——平面一般力系的简化

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1、平面一般力系的简化平面一般力系是指各力的作用线位于同一平面内但不全汇交于一点，也不全平行的力系。平面一般力系是工程上最常见的力系，很多实际问题都可简化成平面一般力系问题处理。例如，图4－1所示的三角形屋架，它的厚度比其他两个方向的尺寸小得多，这种结构称为平面结构，它承受屋面传来的竖向荷载P，风荷载Q以及两端支座的约束反力XA、YA、YB，这些力组成平面一般力系。在工程中，有些结构构件所受的力，本来不是平面力系，但这些结构（包括支撑和荷载）都对称于某一个平面。这时，作用在构件上的力系就可以简化为在这个对称面内的平

2、面力系。例如，图4－2（a）所示的重力坝，它的纵向较长，横截面相同，且长度相等的各段受力情况也相同，对其进行受力分析时，往往取1m的堤段来考虑，它所受到的重力、水压力和地基反力也可简化到1m长坝身的对称面上而组成平面力系，如图4－2（b）所示。第一节力的平移定理上面两章已经研究了平面汇交力系与平面力偶系的合成与平衡。为了将平面一般力系简化为这两种力系，首先必须解决力的作用线如何平行移动的问题。设刚体的A点作用着一个力F（图4－3（a）），在此刚体上任取一点O。现在来讨论怎样才能把力F平移到O点，而不改变其原来的

3、作用效应？为此，可在O点加上两个大小相等、方向相反，与F平行的力F′和F〞，且F′=F〞=F（图4－3（b））根据加减平衡力系公理，F、F′和F〞与图4－3（a）的F对刚体的作用效应相同。显然F〞和F组成一个力偶，其力偶矩为这三个力可转换为作用在O点的一个力和一个力偶（图4－3（c））。由此可得力的平移定理：作用在刚体上的力F6，可以平移到同一刚体上的任一点O，但必须附加一个力偶，其力偶矩等于力F对新作用点O之矩。顺便指出，根据上述力的平移的逆过程，共面的一个力和一个力偶总可以合成为一个力，该力的大小和方向与原

4、力相同，作用线间的垂直距离为力的平移定理是一般力系向一点简化的理论依据，也是分析力对物体作用效应的一个重要方法。例如，图4－4a所示的厂房柱子受到吊车梁传来的荷载F的作用，为分析F的作用效应，可将力F平移到柱的轴线上的O点上，根据力的平移定理得一个力F′，同时还必须附加一个力偶（图4－４（b））。力F经平移后，它对柱子的变形效果就可以很明显的看出，力F′使柱子轴向受压，力偶使柱弯曲。第一节平面一般力系向作用面内任一点简化一、简化方法和结果设在物体上作用有平面一般力系F1，F2，…，Fn，如图4－5（a）所示。为

5、将这力系简化，首先在该力系的作用面内任选一点O作为简化中心，根据力的平移定理，将各力全部平移到O点（图4－5（b）），得到一个平面汇交力系F1′，F2′，…，Fn′和一个附加的平面力偶系。其中平面汇交力系中各力的大小和方向分别与原力系中对应的各力相同，即F1′=F1，F2′=F2，…，Fn′=Fn6各附加的力偶矩分别等于原力系中各力对简化中心O点之矩，即由平面汇交力系合成的理论可知，F1′，F2′，…，Fn′可合成为一个作用于O点的力Rˊ，并称为原力系的主矢（图4－5（c）），即R′=F1′+F2′+…+Fn′

6、=F1+F2+…+Fn=∑Fi（4－１）求主矢R′的大小和方向，可应用解析法。过O点取直角坐标系oxy，如图4－5所示。主矢R′在x轴和y轴上的投影为Rx′=x1′+x2′+…+xn′=x1+x2+…+xn=∑XRy′=y1′+y2′+…+yn′=y1+y2+…+yn=∑Y式中xi′、yi′和xi、yi分别是力Fi′和Fi在坐标轴x和y轴上的投影。由于Fi′和Fi大小相等、方向相同，所以它们在同一轴上的投影相等。主矢R′的大小和方向为（4－2）（4－3）为R′与x轴所夹的锐角，R′的指向由∑X和∑Y的正负号确定

7、。由力偶系合成的理论知，m1，m2，…，mn可合成为一个力偶（如图4－5（c）），并称为原力系对简化中心O的主矩，即（4－4）综上所述，得到如下结论：平面一般力系向作用面内任一点简化的结果，是一个力和一个力偶。这个力作用在简化中心，它的矢量称为原力系的主矢，并等于原力系中各力的矢量和；这个力偶的力偶矩称为原力系对简化中心的主矩，并等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和。应当注意，作用于简化中心的力R′一般并不是原力系的合力，力偶矩为MO′也不是原力系的合力偶，只有R′与MO′两者相结合才与原力系等效。由于主矢等

8、于原力系各力的矢量和，因此主矢R的大小和方向与简化中心的位置无关。而主矩等于原力系各力对简化中心的力矩的代数和，取不同的点作为简化中心，各力的力臂都要发生变化，则各力对简化中心的力矩也会改变，因而，主矩一般随着简化中心的位置不同而改变。二、平面一般力系简化结果的讨论平面力系向一点简化，一般可得到一力和一个力偶，但这并不是最后简化结果。根据主矢与主矩是否存在，可能出现下列几种情况：（1）