河南省南阳市六校2023-2024学年高二下学期3月第一次联考 数学 Word版含解析.docx

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2024年春期六校高二年级第一次联考数学试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知在等差数列中，，，则A.0B.6C.8D.102.已知数列为递减的等比数列，且，，则的公比为A.B.C.D.3.某中学课外活动小组为了研究经济走势，根据该市1999-2021年的GDP（国内生产总值）数据绘制出下面的散点图，该小组选择了如下2个模型来拟合GDP值随年份的变化情况，模型一：；模型二：，下列说法正确的是A.变量与负相关B.根据散点图的特征，模型一能更好地拟合GDP值随年份的变化情况C.变量与有较强的线性相关性D.若选择模型二，的图象不一定经过点4.已知数列满足，，则 A.B.C.D.5.观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样7条直线相交，交点的个数最多是A.20B.21C.26D.276.某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数A.B.C.D.7.设等差数列的前项和为，已知，，，则的值为A.16B.18C.24D.368.已知数列满足：，，则所有可能的取值之和是A.6B.7C.9D.17二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是A.B.时，的最小值为2023C.有最大值D.时，的最大值为404510.设数列的前项和为，已知，，则A.B.C.数列是等比数列D.数列是等比数列11.已知数列满足，，则下列说法正确的是 A.当时，数列是递减数列B.当时，数列是等差数列C.当时，D.当时，数列存在最小值12.将个数排成行列的一个数阵，如下图所示，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有A.B.C.D.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设正项等比数列满足，，则的最大值为______.14.某同学在研究变量，之间的相关关系时，得到以下数据：并采用最小二乘法得到了线性回归方程，则______0（填“>”或“<”）.4.85.878.39.12.84.17.29.111.815.已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则______.16.若表示自然数的最大奇因数，例如，，，记（为自然数），则______.，的通项公式为______.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）爬虫软件是一种自动抓取互联网信息的程序，它能够模拟浏览器行为，自动化地获取网页源代码，并从中提取出所需数据。爬虫软件在互联网上爬行并采集目标数据，这个过程类似于一只大蜘蛛在互联网上爬行，因此得名“爬虫” .现有某电商运营部门为分析消费能力与性别的关系，使用爬虫软件了解到，2023年第4季度在本店网购的消费者共12000名，现随机抽取100名消费者，其中男女各半.若消费者总消费金额不低于3000元，则称其为网购达人.男性消费者中，网购达人占.网购达人中，男性消费者占.（1）请完成答题卡上的列联表；性别网购达人非网购达人合计男性女性合计（2）认为是否为网购达人与性别有关犯错误的概率不超过，那么根据临界值表最精确的的值应为多少？请说明理由.参考公式：，其中参考数据：0.100.050.0100.0012.7063.8416.63510.82818.（本小题满分12分）在递减等比数列中，，公比为，且，2是与的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.19.（本小题满分12分）已知数列的前项和为，.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20.（本小题满分12分）数列满足，，当时，，，成等差数列.（1）证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式；（2）设数列满足，记，求数列的前项和.21.（本小题满分12分）如图是我国2016年至2022年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. 注：年份代码1-7分别对应年份2016-2022.（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数（精确到0.01）加以说明；（2）建立关于的回归方程（精确到0.01），预测2024年我国生活垃圾无害化处理量.附注：参考数据：，，，.参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距最小二乘估计公式分别为，.22.（本小题满分12分）已知数列对于任意的均有；数列的前项和为，且，.（1）求数列，的通项公式；（2）令，为数列的前项和，且恒成立，求的最大值. 2024年春期六校第一次联考高二年级数学参考答案1.【答案】A【解析】在等差数列中，，得，公差，所以.故选：A.2.【答案】C【解析】为递减的等比数列，，解得：（舍）或，的公比.故选：C.3.【答案】D【解析】对于A，由散点图可知随年份的增大而增大，所以变量与正相关，所以A错误；对于B，由散点图可知变量与的变化趋向于一条曲线，所以模型二能更好地拟合GDP值随年份的变化情况，所以B错误，C错误；对于D，若选择模型二：，令，则的图象经过点，不一定过，故正确，故选：D.4.【答案】B【解析】由，得，所以，，，……，，，所以，所以，因为，所以，因为满足上式，所以，.故选：B. 5.【答案】B【解析】交点个数依次构成数列1，3，6，10…，即，，，，由此猜想，所以.故选：B.6.【答案】D【解析】由题可知，假设甲令为，所以，，所以，，改为正确数据时得，，所以样本点的中心为，将其代入回归直线方程，得.故选：D7.【答案】A【解析】由题意可得，即①，②，且等差数列满足，①②两式相加得，代入求和公式可得，，解得.故选：A.8.【答案】C【解析】若为偶数，则由可得，若为奇数不成立，舍去；若为偶数，则由可得，若为奇数不成立，舍去；若为偶数，则由可得，若为奇数.故或8综上，取值之和为9，故选：C.9.【答案】CD【解析】对于A：由可得，，，故等差数列的公差，故A错误； 对于B：由A得，数列为单调递减数列，且，，故时，的最小值为2024，故B错误；对于C：由A得，，故是关于的二次函数，图像开口方向向下，有最大值，没有最小值，故C正确；对于D：因为数列的前2023项均为正数，且，，时，的最大值为4045，故D正确.故选：CD.10.【答案】ABD【解析】对于A，，所以，A正确；对于B，因为，所以，所以，所以，于是，B正确；对于C，，但不满足，故不是等比数列，C错误；对于D，因为，所以，即是首项为1，公比为5的等比数列，D正确.故选：ABD.11.【答案】BC【解析】选项A，当时，，又，所以是首项为3，公比为3的等比数列，，数列递增，故A错误；选项B，当时，，故，即，所以数列是等差数列，故B正确；选项C，当时，，，所以是公差为1的等差数列，又，所以，所以，故C正确； 选项D，当时，，，则是首项是1，公差为的等差数列，，则，则，所以为递减数列且当趋近于无穷大时，趋近于负无穷，故无最小值，D错误.故选：BC.12.【答案】ACD【解析】由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，可得，，所以，解得或（舍去），所以选项A是正确的；又由，所以选项B不正确；又由，所以选项C是正确的；又由这个数的和为，则，所以选项D是正确的，故选：ACD.13.【答案】64【解析】设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或4时，取得最大值.14.【答案】<【解析】画出散点图如下： 从而可以看出中，.15.【答案】【解析】两个等差数列和的前项和分别为和，且，可得.故答案为：.16.【答案】（第一空2分，第二空3分）22，【或答4，也得分】【解析】第一种答案：由题意，表示的最大奇因数，可得，，，，，，，，可得，，，可猜想时，，证明如下：因为当时，.即， 所以，，，…，，可得，当时，也成立，所以，第二种答案：，17.【答案】（1）性别网购达人非网购达人合计男性203050女性302050合计5050100（2）认为是否为网购达人与性别有关系出错的可能性大约有.【解析】（1）由题意可得男性消费者50人，女性消费者50人，男性消费者网购达人有人，则男性消费者中非网购达人有人，则网购达人共有人，则女性消费者中网购达人有人，女性消费者中非网购达人有.故得列联表如下：性别网购达人非网购达人合计男性203050女性302050合计5050100（2）由（1）可得，，因为，认为是否为网购达人与性别有关系犯错的概率不超过.18.【答案】（1） （2）【解析】（1）在等比数列中，，且，所以，，即，则，因为2是与的等比中项，所以，，因为数列是递减数列，则，则，所以，，所以，，所以，；（2）因为，当时，，.当时，，.综上所述，.19.【答案】（1）（2）【解析】（1）①，当时，②， 两式①②得：，当时，，符合上式，所以；（2）令，所以，故，，两式相减得，，故20.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）由题意知，，即，，则，，又，数列是首项为2，公比为2的等比数列，，则，又当时，符合上式，；（2）由（1）得， 21.【答案】（1）答案见解析（2），预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约1.83亿吨【解析】（1），，，因为正向趋近1，所以说明这组样本数据的线性相关程度很强；（2）由（1）可知：，，，所以当时，，所以关于的回归方程为，预测2024年我国生活垃圾无害化处理量将约1.83亿吨22.【答案】（1），，，.（2）10【解析】（1）根据数列的递推式，采用两式相减的方法可求得其通项公式，根据，可证明数列为等比数列，即可求得其通项公式. （2）利用（1）的结果可求得的通项，继而求得，将恒成立，化为，即，结合数列的单调性，即可求得答案.（1）因为①，当时，；当时，②.①②可得，所以时.经检验，符合上式，所以，对于，由题意可得，，当，，所以时，，则，即，，因为，，符合上式，所以是首项为1，公比为2的等比数列，所以，；（2）因为，所以，则，恒成立，等价于，化简得，即即可. 令，则，若，则，即时，数列单调递增；又因为，，所以，即，可得的最大值为10