河南省创新发展联盟2023-2024学年高二下学期3月月考 数学 Word版含解析.docx

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2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册，第二册。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数，则（）A．3B．6C．D．2．已知直线与垂直，则（）A．2B．C．1D．3．已知双曲线的一条渐近线方程为，且C与椭圆有公共的焦点，则C的方程为（）A．B．C．D．4．已知数列满足，且，，则（）A．4B．1C．3D．5．过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（）A．26B．C．13D．6．已知抛物线的焦点为F，点，N是抛物线C上一点，当取得最小值时，的面积为（）A．B．5C．D．127．设，，，则（） A．B．C．D．8．已知点关于直线的对称点Q落在圆上，则A．1B．C．D．0二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要．求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列是单调递增的等比数列，且，，则（）A．B．．C．与的等比中项为4D．数列是公差为的等差数列10．如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为正方形，且，则（）A．B．直线BD与平面PCD所成的角为C．二面角的大小为D．四棱锥的外接球的表面积为11．已知函数的导函数为，若，且，，则的取值可能为（）A．2B．3C．4D．5三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知向量，，若，则______．13．等差数列的前n项和为，若，则______．14．椭圆的左、右焦点分别为，，过且斜率大于0的直线l与C相交于A，B两点．若内切圆的半径为，则l的斜率为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数在处取得极大值5．（1）求a，b的值；（2）求与直线垂直，并与曲线相切的直线的方程．16．（15分）数列满足，．（1）证明数列是等比数列，并求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．17．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，，，，且．（1）证明：．（2）若，求直线PA与平面PBD所成角的正弦值．18．（17分）已知，函数．（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求a的取值范围．19．（17分）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线经过点，点B与点A关于原点对称，C为M上一动点，且C异于A，B两点．（1）求M的离心率；（2）若的重心为A，点，求的最小值；（3）若的垂心为A，求动点T的轨迹方程． 2023-2024学年高二下学期第一次月考数学参考答案1．D因为，所以，则．2．B因为，所以，解得．3．A由题可知，解得，故C的方程为．4．A因为，，所以，，，，，，…，所以是以6为周期的周期数列，则．5．C由题可知，圆C的半径为，O在圆C上，因为，所以AB是圆C的一条直径．当时，面积取得最大值，且最大值为．6．C当MN与抛物线C的准线垂直时，取得最小值，此时，则的面积为．7．C设，因为，当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，又，，所以．8．A由题可知，直线l经过坐标原点O，所以，则Q在圆上．联立方程组 解得，则．9．BD因为数列是单调递增的等比数列，所以．由，解得或（舍去），则数列的公比，，，则，与的等比中项为．因为，所以数列是公差为的等差数列．故选BD．10．ABD以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系（图略），则，，，，，，，所以．A正确．，设平面PCD的法向量为，则令，得，，故直线BD与平面PCD所成的角为．B正确．，设平面BCP的法向量为，则，令，得，，由图可知，二面角B-PC-D的大小为钝角，则二面角B-PC-D的大小为．C不正确．由题可知，四棱锥P-ABCD的外接球的半径，故四棱锥P-ABCD的外接球的表面积为．D正确．11．CD令函数，则所以单调递增，则，即，解得， 所以，，所以选CD．12．因为，是，所以．13．26设的公差为d，由，可得，则，则．14．设，，，内切圆的半径为r，则．联立方程组，整理得，则，则由，得，解得或（舍去）．又l的斜率大于0，所以，l的斜率为．15．解：（1）由，得．因为在处取得极大值5，所以，解得，经检验知，当时，在处取得极大值5，故．（2）由（1）可知，，因为切线与直线垂直，所以切线的斜率为．设切点的横坐标为，则，解得，则，所以所求切线的方程为，即． 16．解：（1）因为，所以．又，所以是以2为首项，4为公比的等比数列，则，所以．（2）由（1）可知，，则，令，则，则，所以令，则．17．（1）证明：如图，连接EF交AC于点O，设BD与AC交于点G，因为，，所以，且．又底面ABCD为菱形，所以，所以．因为底面ABCD为菱形，所以O为EF的中点，则，，连接PO，从而，即，则．因为，所以平面PEF．因为平面PEF，所以．（2）解：由（1）知，平面PEF，因为平面PEF，所以． 又，，所以PE⊥平面ABCD，所以，则．如图，以E为坐标原点，EF所在直线为x轴，AC的平行线为y轴，EP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，．设平面PBD法向量为，则由得，令，得．，故直线PA与平面PBD所成角的正弦值为．13．解：（1）的定义域为，，当时，，则在上单调递增，当时，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减．（2）由，可得，即，，令，因为，所以单调递增，由，可得，则，即．设，则有，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以， 所以，因此a的取值范围为．19．解：（1）因为双曲线经过点，所以，解得，所以M的离心率．（2）易知．设，．因为的重心为A，所以解得．因为，所以即．因为点C异于A，B两点，所以，且，所以T的轨迹不含，两点．故，当且仅当时，等号成立，（3）因为A为的垂心，所以，．设，．当直线BC或AC的斜率为0时，点C的坐标为或，点T与点C重合．当直线BC或AC的斜率不为0时，直线AT与BT的斜率存在，则，，由（2）知，则，则．因为，所以，，，则，得，则．因为，，都在曲线上，所以动点T的轨迹方程为（挖去，，这三点）．