四川省成都市树德中学（宁夏校区）2022-2023学年高二下学期4月月考数学（文）Word版含解析.docx

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树德中学高2021级高二下学期4月阶段性测试数学（文）试题一､选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题只有一项是符合题目要求的.1.若，则的虚部为（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到，再根据复数的定义判断即可.【详解】因为，所以，所以，所以的虚部为.故选：A2.为迎接2023年成都大运会，大运会组委会采用按性别分层抽样的方法从某高校报名的200名学生志愿者中抽取30人组成大运会志愿小组.若30人中共有男生12人，则这200名学生志愿者中女生可能有（）A.12人B.18人C.80人D.120人【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样等比例性质即可求女生人数.【详解】由题设，若200名学生志愿者中女生有人，则，所以人.故选：D3.的两个顶点为,周长为16，则顶点C的轨迹方程为（）.A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】根据题意,可知点C到A、B两点的距离之和为10,故轨迹为椭圆,同时注意取值范围.【详解】由题知点C到A、B两点的距离之和为10,故C的轨迹为以为焦点,长轴长为10的椭圆,.故.所以方程为.又故三点不能共线,所以故选A【点睛】本题主要考查椭圆的定义与椭圆的标准方程,注意求轨迹时结合实际情景进行特殊点排除.4.已知是曲线上的任一点，若曲线在点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析可知对任意的恒成立，结合参变量分离法以及基本不等式可求得实数的取值范围.【详解】函数的定义域为，且，因为曲线在其上任意一点点处的切线的倾斜角均是不小于的锐角，所以，对任意的恒成立，则，当时，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，，解得.故选：B.5.在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是A.B.C.(1,0)D.(1，)【答案】B【解析】【详解】由题圆，则可化为直角坐标系下的方程,，， ，圆心坐标为（0，-1），则极坐标为，故选B.考点：直角坐标与极坐标的互化.6.下列有关回归分析的说法中不正确的是（）A.回归直线必过点B.回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C.当相关系数时，两个变量正相关D.如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于【答案】B【解析】【分析】根据线性回归直线的性质可判断选项AB；根据相关系数的性质可判断CD，进而可得正确选项.【详解】对于A选项，回归直线必过点，A对；对于B选项，线性回归直线在散点图中可能不经过任一样本数据点，B错；对于C选项，当相关系数时，两个变量正相关，C对；对于D选项，如果两个变量的线性相关性越弱，则就越接近于，D对.故选：B.7.是的导函数，若的图象如图所示，则的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先利用题给导数图像得到的正负情况，再利用导数几何意义即可求得 单调性，进而得到的可能图象.【详解】由的图象可得，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；当时，，则单调递增.则仅有选项C符合以上要求.故选：C8.已知是椭圆的右焦点，过椭圆的下顶点且斜率为的直线与以点为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求得过椭圆的下顶点且斜率为的直线，利用圆心到此直线的距离列方程，化简求得离心率.【详解】过椭圆的下顶点且斜率为的直线方程为，，由点到直线距离公式，得，即，，则.又，即，解得.故选：A9.已知，若不是函数的极小值点，则下列选项符合的是（）AB.C.D. 【答案】B【解析】【分析】利用数轴标根法，画出的草图，对选项A，B，C，D逐一分析.【详解】解：令，得.下面利用数轴标根法画出的草图，借助图象对选项A，B，C，D逐一分析.对选项A：若，由图可知是的极小值点，不合题意；对选项B：若，由图可知不是的极小值点，符合题意；对选项C：若，由图可知是的极小值点，不合题意；对选项D：若，由图可知是的极小值点，不合题意；故选：B.【点睛】方法点睛：利用数轴标根法，口诀“自上而下，从右到左，奇穿偶不穿”，画出的草图，结合极小值点的定义，对选项A，B，C，D逐一分析，即可求解.10.已知椭圆，过原点的直线交椭圆于、（在第一象限）由向轴作垂线，垂足为，连接交椭圆于，若三角形为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设点、，其中，，则、，分析可知，利用点差法可得出，可求得，由可求得该椭圆的离心率的值.【详解】如下图所示，设点，其中，，则、， 则，，设点，则，作差可得，所以，，所以，，则不互相垂直，所以，则，所以，，又因为，所以，，所以，该椭圆的离心率为.故选：B.11.已知，，，且，，，则（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】构造函数，利用导数判断函数单调性，作出图象，数形结合求解即可. 【详解】由题意，得，，．设，则，当时，；当时，，所以在上为增函数，在上为减函数，结合，时，；时，，易画出的草图（如下图），又，，，结合a，b，c的取值范围及的图象，可得，故选：D12.设是定义在R上的奇函数，在上有，且，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】构造函数，利用题给条件求得在上单调性，再利用奇函数满足求得，进而得到在上的函数值的正负情况，再利用奇函数的性质即可求得不等式的解集.【详解】令，则则在上单调递减，又是定义在R上的奇函数，，则， 则，则当时，，，；当时，，，.又由是定义在R上的奇函数，可得当时，，；当时，，综上，不等式的解集为故选：B二､填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.如图，若向量对应的复数为z，则表示的复数为______．【答案】##【解析】【分析】先由图中得到，再利用复数的运算规则即可求得表示的复数.【详解】由图可得，，则故答案为：14.已知曲线在点P处的切线与直线垂直，则P点的横坐标为___________.【答案】【解析】【分析】由题设知P处的切线斜率为，应用导数几何意义列方程求P点的横坐标.【详解】由题设在P处的切线斜率为，而， 所以，则，即.故答案为：15.已知椭圆C：，过右焦点的直线交椭圆于，若满足，则的取值范围______．【答案】【解析】【分析】根据椭圆方程得右焦点坐标为，设直线方程为，，联立得交点坐标关系，由得，即，整理得关于得方程有解，即可得的取值范围.【详解】已知椭圆C：，则其右焦点坐标为，过右焦点的直线交椭圆于，若满足，所以，则设直线方程为，则，所以，显然恒成立，所以，则整理得，所以， 又，所以，解得，所以的取值范围为.故答案为：.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.16.若函数的最大值为，则实数的取值范围为___________.【答案】【解析】【分析】求得，由题意可得在恒成立，讨论的范围，分，，，运用参数分离和构造函数，求得导数和单调区间，可得最值，进而得到的范围．【详解】解：当时，，则，则当时，即在上单调递增，当时，即在上单调递减，所以当时取得极大值，即当时的最大值；由，可得在恒成立，即为，当时，显然成立；当时，有，可得，设，， ，由时，，则，在递减，且，可得；当时，有，可得，设，，，由时，，在递减，由时，，在，递增，即有在处取得极小值，且为最小值，可得，综上可得．故答案为：三､解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为（2）【解析】【分析】（1）对求导得到，令，，解不等式即可得到单调区间；（2）把在上单调递增转化成在上大于等于零恒成立，再求出最值即可得到的取值范围.【小问1详解】 当时，，则.当或时，，单调递增；当时，，单调递减.所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.【小问2详解】在上单调递增，则在上恒成立.即在上恒成立，所以在上恒成立，所以恒成立.令，，当时，有最小值为，故.所以实数a的取值范围是.18.当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、分钟跳绳三项测试，三项考试满分分，其中立定跳远分，掷实心球分，分钟跳绳分．某学校在初三上期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如表：每分钟跳绳个数得分 （1）请估计学生的跳绳个数的中位数和平均数（保留整数）；（2）若从跳绳个数在、两组中按分层抽样的方法抽取人参加正式测试，并从中任意选取人，求两人得分之和大于分的概率．【答案】（1）中位数为，平均数为（2）【解析】【分析】（1）设学生的跳绳个数的中位数为，利用中位数的定义可得出关于的值；将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，相加可得出平均数；（2）计算可得出在内抽取人，分别记为、，在内抽取人，分别记为、、、，列举出所有的基本事件，并确定所求事件的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：设学生的跳绳个数的中位数为，因为，则，由中位数的定义可得，解得，平均数（个）．【小问2详解】解：跳绳个数在内的人数为个，跳绳个数在内的人数为个，按分层抽样的方法抽取人，则在内抽取人，分别记为、，在内抽取人，分别记为、、、， 从这人中任意抽取人，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、，共种，两人得分之和大于分包含的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、，共种，则两人得分之和大于分的概率．19.已知曲线的方程为，的方程为，是一条经过原点且斜率大于的直线．（1）以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点（异于点），与的一个公共点为，当时，求的直角坐标方程．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）将曲线的方程化为，即可将曲线的方程化为极坐标方程，利用，可将曲线的直角坐标方程化为极坐标方程；（2）设曲线的极坐标方程为，将曲线与、与极坐标方程分别联立，可求出和关于的表达式，并代入等式，求出的值，即可得出曲线的直角坐标方程.【详解】（1）曲线的方程为，整理得，转换为极坐标方程为，即.曲线的方程为，转换为极坐标方程为；（2）因为曲线是一条经过原点且斜率大于的直线，设曲线极坐标方程， 由于与的一个公共点（异于点），故，所以，与的一个公共点为，，所以．由于，所以，即，锐角满足，，此时，，，，，则，，，，因此，曲线的直角坐标方程为．【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，同时也考查了利用极坐标方程求解过原点的线段长度的问题，要充分利用三角恒等变换思想求解，考查计算能力，属于中等题.20.设函数，（）.（1）当时，求函数的最大值；（2）对任意的函数恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）把代入函数解析式，通过导数讨论函数的单调性得出结果；（2）求出函数的导函数，导函数在处的导数为零，由，对导数进行放缩，再分成，，三种情况讨论函数的单调性得出结果.【小问1详解】当时，，， 由，解得；则在上单调递增；由，解得；则在上单调递减.所以在处取最大值，最大值为.【小问2详解】，下面证明，设，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以，即.则，当时，即时，由得恒成立，上单调递增，符合题意.所以.当时，由得恒成立，在上单调递减，显然不成立，舍去.当时，由，得，即，则，因为，所以.时，恒成立，在上单调递减，显然不成立，舍去.综上可得：.21.已知椭圆的焦距为，且过点.（1）求椭圆方程； （2）为椭圆的上顶点，三角形是椭圆内接三角形，若三角形是以为直角顶点的等腰直角三角形，求三角形的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程；（2）分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，可得出的表达式，同理可得出的表达式，设，由求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【小问1详解】解：因为椭圆的焦距为，则，可得，由题意可得，解得，因此，椭圆的方程为.【小问2详解】解：易知点，若直线的斜率不存在，则直线轴，此时与椭圆相切，不合乎题意，同理可知，若直线的斜率存在，则直线的斜率不为零，所以，直线的斜率存在，设直线的方程为，其中，联立可得，解得或，故点，所以，， 同理，由题知得：，不妨设，化简方程知：，解得，所以，，故，因为三角形是以为直角顶点的等腰直角三角形，故.22.已知.（1）若在x=0处取得极小值，求实数a的取值范围；（2）若有两个不同的极值点（），求证：（为的二阶导数）.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数导数，讨论，，和四种情况，根据导数情况讨论函数的单调性即可得出；（2）根据题意可得，构造函数，利用导数即可证明.【小问1详解】由题意得，，，①当时，上单调递增，所以当x＜0时，，在单调递减； 当x＞0时，，在单调递减；所以在x＝0处取得极小值，符合题意．当时，由可得，由可得，②当0＜a＜1时，，在单调递增，在单调递减，所以当时，，在单调递减；当时，，在单调递增；所以在x＝0处取得极小值，符合题意．③当a＝1时，知在区间单调递减，在区间单调递增，所以在处取得最小值，即，所以函数在R上单调递增，所以在x＝0处无极值，不符合题意．④当a＞1时，，由①知的减区间为，所以当时，，在单调递增；当时，，在单调递减；所以在x＝0处取得极大值，不符合题意，综上可知，实数a的取值范围为．【小问2详解】为的零点，则，，，，令，构造函数，由②知，当时，，即.则， 所以在单调递减，故．故，故原不等式得证．【点睛】关键点睛：本题考查函数极值点的辨析，解题的关键是求出导数，根据导数形式正确分类讨论函数的单调性，结合极值的定义得出参数情况.