浙江省杭州市2023-2024学年高一上学期期末数学试题 Word版含解析.docx

《浙江省杭州市2023-2024学年高一上学期期末数学试题 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

2023学年高一年级第一学期期末学业水平测试数学试题一、单选题：1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先确定集合，按交集的概念求交集.【详解】，又，所以.故选：C2.若，则“”是“且”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】若，，则，即由推不出且，故充分性不成立；若且，则，即由且推得出，即必要性成立，所以“”是“且”的必要不充分条件.故选：B3.函数的定义域为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用具体函数的定义域的求法求解即可. 【详解】由且.故选：C4.为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点（）A.向左平移1个长度单位B.向右平移1个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位【答案】D【解析】【分析】根据三角函数图象的平移变换规律，即可求得答案.【详解】由于，为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有的点向右平移个长度单位，故选：D5.若函数是奇函数，则（）A.1B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据分段函数的奇偶性，求出时的解析式，代入求值，即得答案.【详解】由于函数是奇函数，故时，，则，故，故选：B6.若，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用同角的三角函数关系求出，判断的范围，确定，结合齐次式法求值求出，即可求得答案.【详解】因为，故，即，得，则，且，所以，所以，则，故，故选：B7.已知，，且，则的最小值为（）A.4B.6C.8D.9【答案】D【解析】【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案.详解】由得，其中，，所以，当且仅当，即，则，时，等号成立，故的最小值为9.故选：D8.已函数，若对于定义域内任意一个自变量都有，则的最大值为（）A.0B.C.1D.2 【答案】B【解析】【分析】由已知对的取值进行分类讨论，结合的取值范围求出函数的定义域，再结合函数的性质分别进行求解即可.【详解】若，则恒成立，故符合题意；若.①当即时，，此时函数的定义域为，所以恒成立，所以：符合题意；②当即时，，此时函数的定义域为，则，所以恒成立，所以：符合题意；③当即时，函数的定义域为且则取，则，令，当时，，可以取得负值，故不符合题意.若，则函数定义域为且，令，则.当且时，，可以取得负值，故不符合题意；综上，，即的最大值为.故选：B【点睛】关键点点睛：对的取值进行分类讨论，分别判断是否恒成立.二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分． 9.下列各式的值为的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据三角函数诱导公式以及恒等变换公式，化简求值，一一判断各选项，即得答案.【详解】对于A，，A正确；对于B，，B正确，对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD10.下列函数的值域为且在定义域上单调递增的函数是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】结合基本初等函数的单调性及值域检验个选项即可判断.【详解】根据幂函数的性质及函数图象的平移变换可知：在上单调递增且值域为，故A符合题意；根据指数函数的图象和性质可得：的值域为，故B不符合题意；根据对数函数的图象和性质可得：在上单调递增，值域为，故C符合题意；根据反比例函数的图象和性质可知：在和上单调递增，但在定义域上不单调，故D不符合题意. 故选：AC11.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（）A.B.函数有3个零点C.的最小正周期为D.的值域为【答案】ACD【解析】【分析】由“高斯函数”的定义结合的值，即可判断A；举反例可判断B；在区间上，化简，结合余弦函数的周期性，可判断C，D；【详解】对于A，，A正确；对于B，当时，，则，此时为的零点，有无数个，B错误；对于C，在区间上，，结合的最小正周期为，由此可得的最小正周期为，C正确，对于D，结合C的分析可知的值域为，D正确，故选：ACD12.已知函数在区间上单调递增，则下列判断中正确的是（） A.的最大值为2B.若，则C.若，则D.若函数两个零点间的最小距离为，则【答案】ABD【解析】【分析】利用函数的周期性、单调性等有关的性质逐一进行分析，判断各选项是否正确.【详解】因为在区间上单调递增，故有：，可得的最大值为，故A正确；当时，，所以，所以，.所以，又，故，可得.故B正确；由于，故当时，，故C错误；令，两个零点分别设为，，则：，因为，所以.故D正确.故选：ABD【点睛】三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.值为_______．【答案】10 【解析】【分析】根据对数和幂的运算法则进行计算可得结果.【详解】原式.故答案为：14.已知函数的定义域为，且满足，，则可以是_______．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先根据条件确定函数的奇偶性和周期性，再结合三角函数的性质可写出答案.【详解】由题意：函数的定义域为，且，所以为奇函数；又，所以是以2为周期的周期函数；所以解析式可以为：.故答案为：（答案不唯一）15.已知，，则的值为_______．【答案】##【解析】【分析】结合角的取值范围，结合同角三角函数基本关系和诱导公式求值.【详解】因为，又，所以且.所以； .所以：.故答案为：16.已知下列五个函数，从中选出两个函数分别记为和，若的图象如图所示，则_________．【答案】【解析】【分析】观察图象确定函数的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定的解析式.【详解】如图可知，的定义域为，可知一定包含这一函数，且一定不包含这一函数，又函数不是奇函数，所以不成立；所以只有两种可能：或.若，当时，，，所以，与图象不符，故不成立；若，当时，单调递减，单调递减，所以在上递减；当时，（当且仅当即时取“”） 所以在上递减，在上递增，符合题意.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是熟练掌握初等基本函数的性质，从而得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知集合，集合（1）当时，求；（2）若，求实数a的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】当时，可得或，先求，再求其补集即可；（2）由可知，然后结合集合的包含关系即可求解.【小问1详解】依题意解得：，当时，或，此时或，；【小问2详解】由可知．因为，；当，即时，，符合题意，当，即时，或，则或，此时不存在； 当，即时，或，则或，此时不存在，所以．18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角和角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A、B两点，点A的横坐标为，点C与点B关于x轴对称．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】18.19.【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义以及同角三角函数的基本关系、二倍角公式可求解；（2）根据三角函数的定义及两角差的余弦公式，可求解.【小问1详解】因为点的横坐标为，且，点在第一象限，所以点纵坐标为，所以，. 所以.【小问2详解】因为，由图可知：.而，故（）（），所以.【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值问题，利用三角函数的定义，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，还有两角差的余弦公式可求解.属于中档题目.19.已知函数（，且）是定义在R上的奇函数．（1）求a的值；（2）若关于t方程在有且仅有一个根，求实数k的取值范围．【答案】1920.【解析】【分析】（1）根据奇函数的定义可确定的值.（2）先确定函数的单调性，结合函数的奇偶性，班函数方程转化为代数方程，再求实数的取值范围.【小问1详解】因为函数是上的奇函数，所以恒成立.所以恒成立恒成立恒成立，即恒成立，所以. 【小问2详解】，设，则因为在上单调递增，所以，又，所以即，所以是上的增函数.在上只有一解.问题转化为：关于的一元二次方程在只有一解.设.①若或.当时，，故符合题意；当时，，故不符合题意；②若，或，在只有一解，故符合题意；若，方程或，在上有两解，故不符合题意；③若，此时方程在上只有一解.综上可知：.【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性求参数，常用的方法有：（1）利用特殊点的函数值的关系求出参数的值，该方法需要验证；（2）直接利用函数奇偶性的概念求参数，该方法不需要验证. 20.设函数（1）求函数的对称中心；（2）若函数在区间上有最小值，求实数m的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦函数的对称性，即可求得答案；（2）利用三角函数的诱导公式以及两角和差的正余弦公式化简，再结合余弦函数的性质，即可求得答案.【小问1详解】令，则，故函数的对称中心为；【小问2详解】，函数在区间上有最小值，即区间上有最小值，而，即需，则，即实数m的最小值为.21.为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表，经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产（单位：千只）手表，需另投入可变成本万元，且，由市场调研知，每部手机售价 万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额-固定成本-可变成本）（1）求2024年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千只）的函数关系式．（2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】21.22.年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元【解析】【分析】（1）依题意可得，再分、分别求出的解析式；（2）利用二次函数的性质和基本不等式分别求出每一段上的最大值，再取两者较大的即可．【小问1详解】依题意，当时，，当时，，故；【小问2详解】若，，当时，，若，，当且仅当，即时，等号成立，所以当时，，又，故年的年产量为千只时，企业所获利润最大，最大利润是万元．22.已知函数（1）若函数有4个零点，求证：； （2）是否存在非零实数m．使得函数在区间上的取值范围为？若存在，求出m的取值范围．若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意得到方程有4个不同的解，即方程，各有两个实数根，根据韦达定理即可得证；（2）由题意在上单调递减，在上单调递增，对的范围进行讨论，利用根的分布和基本不等式即可求解.【小问1详解】证明：因为函数有4个零点，所以方程有4个不同的解，于是方程，都各有两个不同的解，即方程，各有两个实数根，于是；【小问2详解】，所以在上单调递减，在上单调递增；①若函数在上不单调，则有，且由于，所以，与假设矛盾；②当时，有，即，所以 所以是一元二次方程的两个不相等的实数根，记，有，所以，③当时，应有，即，两式相减得到，所以，两式相加得：，又，，，与矛盾，此时满足条件的实数m不存在，综合以上讨论，满足条件的实数m的取值范围是.