四川省内江市威远中学校2024届高三下期第一次月考理科数学试题 Word版含解析.docx

《四川省内江市威远中学校2024届高三下期第一次月考理科数学试题 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

威远中学校2024届高三下期第一次月考数学（理工类）试卷数学试题共4页、满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂风，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则的真子集的个数为（）A.9B.8C.7D.6【答案】C【解析】【分析】解不等式求出集合A，求出集合B的补集，即可确定的元素，根据元素的个数，即可求得的真子集的个数.【详解】由题意，，故，故，则真子集的个数为，故选：C2.已知复数z满足，则（）A.B.C.1D.【答案】C【解析】 【分析】利用复数的四则运算求出复数z即可得出答案.【详解】由题意，复数满足，可得，所以．则1，故选：C．3.若函数是定义在上的偶函数，则（）A.B.C.D.2【答案】D【解析】【分析】利用偶函数的定义可计算的值，再根据解析式计算函数值即可.【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以且，则，所以，则.故选：D．4.已知，则（）A.B.C.30D.60【答案】D【解析】【分析】设，则，变换，利用二项式定理计算得到答案.【详解】设，则，所以．的展开式的通项，取得．故选：D．5.已知正项等差数列的前项和为，且，．则（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由等差数列的关系结合已知等式化简，可得，结合，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.【详解】设正项等差数列的公差为d，因为，，所以两式相减得，可得，即，所以，因为是正项等差数列，则，则，所以，由，得，得，即，所以，所以，，得，，A，B错误；，C正确；，D错误，故选：C.6.过点可以做三条直线与曲线相切，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设切点坐标，写出切线方程，过点，代入化简得，将问题转化为该方程有三个不等实根，结合导函数讨论单调性数形结合求解.【详解】设切点为，∵，∴， ∴M处的切线斜率，则过点P的切线方程为，代入点的坐标，化简得，∵过点可以作三条直线与曲线相切，∴方程有三个不等实根.令，求导得到，可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，如图所示，故，即.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，求切线方程，关键点在于将问题转化为方程的根的问题，根据方程的根的个数，求解参数的取值范围，考查导函数的综合应用，涉及等价转化，数形结合思想，属于中档题.7.设函数若存在且，使得，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意，需将看成整体角，由范围求得范围，结合函数的图象，求得使的两个解，由题只需使即可，计算即得. 【详解】不妨取，由可得：，由可得，由图可取要使存在且，使得，需使，，解得.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.解决的关键在于将看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近的符合要求的角，从而界定参数范围.8.在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，则下列4个结论中正确的有（）个.①；②的取值范围为；③的取值范围为；④的最小值为A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理与三角恒等变换求得，从而判断A；利用锐角三角形内角的范围判断B；利用正弦定理与倍角公式，结合余弦函数的性质判断C；利用三角恒等变换，结合基本不等式判断D.【详解】在中，由正弦定理可将式子化为，又，代入上式得，即，因为，则，故， 所以或，即或（舍去），所以，故A错误；选项B：因为为锐角三角形，，所以，由解得，故B错误；选项C：，因为，所以，，即的取值范围为，故C正确；选项D：，当且仅当，即时取等号，但因为，所以，，无法取到等号，故D错误.故选：B.【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．9.某校高三年级有8名同学计划高考后前往武当山､黄山､庐山三个景点旅游.已知8名同学中有4名男生，4名女生.每个景点至少有2名同学前往，每名同学仅选一处景点游玩，其中男生甲与女生不去同一处景点游玩，女生与女生去同一处景点游玩，则这8名同学游玩行程的方法数为（）A.564B.484C.386D.640【答案】A【解析】【分析】先将不平均分组问题分成两大类，然后由排列组合知识结合加法、乘法计数原理即可得解.【详解】8人分三组可分为2人，2人，4人和2人，3人，3人，共两种情况.第一种情况分成2人，2人，4人：女生去同一处景点，当成2人组时， 其他6人分成2人，4人两组且男生甲与女生不同组，有种方法；当在4人组时，有种方法.第二种情况分成2人，3人，3人：当成2人组时，有种方法；当在3人组时，有种方法.故这8名同学游玩行程的方法数为.故选：A.10.在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据可求出点P的轨迹方程，根据点P的轨迹与圆D有交点列出不等式求解.【详解】设点P的坐标为，如图所示：由可知：，而，∴∴，整理得，即.∴点P的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，又∵点P在圆D上，∴所以点P为圆D与圆E的交点，即要想满足题意，只要让圆D和圆E有公共点即可，∴两圆的位置关系为外切，相交或内切，∴ ，解得.故选：D11.在中，角，，所对的边分别为，，，为的外心，为边上的中点，，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据化简可得，代入，所以，再根据正弦定理化简可得，进而根据余弦定理可得.【详解】由题意，为的外心，为边上的中点，可得：，因为，可得：，又，所以有即，因为，所以，又因为，所以，由余弦定理：故选：C.12.定义在上的可导函数满足，当时，，若实数a满足，则a的取值范围为（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件构造函数，利用偶函数的定义及导数的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.【详解】由，得.令，则，即为偶函数.当时，，所以上单调递增；所以在上单调递减.由，得，即.又为偶函数，所以，因为在上单调递减，所以，即，解得，或，所以a的取值范围为.故选：C.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数，利用偶函数定义和导数法求出函数的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分.13.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为__________．【答案】##0.5【解析】 【分析】根据已知条件求得，再求焦点到渐近线距离即可.【详解】根据题意可得，故可得，则，则右焦点坐标为，一条渐近线为，右焦点到一条渐近线的距离.故答案为：.14.若x，y满足约束条件，则的取值范围为__________【答案】【解析】【分析】作出可行域，几何意义为可行域内的点与点连线的斜率，根据图形观察计算可得答案.【详解】作出可行域，如图所示，联立方程，解得，即，因为几何意义为可行域内的点与点连线的斜率， 则，故z的取值范围为.故答案为：.15.在三棱锥中，两两互相垂直，，当三棱锥的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球半径为_____________________.【答案】【解析】【分析】设，表示出三棱锥的体积的表达式，利用导数求出体积取最大值时x的值，从而确定棱锥的各棱长，再根据等体积法，即可求得答案.【详解】设，则，由题意知两两互相垂直，可得三棱锥的体积为，令，则，当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，故当时，取到最大值，此时三棱锥的体积取得最大值，设此时三棱锥的内切球的半径为r，则，则， 则即，解得，故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查三棱锥体积最大时，其内切球的半径问题，解答的关键是求出当三棱锥体积最大时棱锥的棱长，从而再根据棱锥的等体积法求解.16.已知，若函数有三个不同的零点，则的取值范围是____．【答案】【解析】【分析】将函数的零点转化为函数图象的交点，画出函数的图象，求出时的最大值，判断零点的范围，结合韦达定理，设，将转化为，进而可得结果．【详解】函数，图象如图，函数有三个不同的零点，，，且，即方程有三个不同的实数根 ，，，且，当时，，因为，所以，当且仅当时取得最大值．当时，；，此时，由，可得，，，，递减，,的取值范围是．故答案为．【点睛】本题考查函数的零点个数的判断与应用，基本不等式的应用，考查数形结合思想以及转化思想，属于难题.函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.17.已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设是首项为1，公比为3的等比数列，①求数列的前项和；②若不等式对一切恒成立，求实数的最大值．【答案】17.； 18.①；②．【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式与前n项和公式，结合等比中项进行求解；（2）①先计算的通项公式，再用错位相减法求解；②代入，得到对一切恒成立，构造函数，再求的最小值，即可求得结果.【小问1详解】依题意得，解得，，即．【小问2详解】①，，，，所以．．②由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立，即转化为对一切恒成立，令，则，又，当时，；时，，所以，且，则．所以实数的最大值为．18.2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023 年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100（1）判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；（2）若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为，求的分布列及.附：①，其中；②当时有95%的把握认为两变量有关联.【答案】（1）没有（2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）根据题意和公式求出，然后根据附②即可得出结论；（2）由题得出的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.【小问1详解】根据列联表中的数据，得，所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.【小问2详解】这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生在2人，所以的取值依次为0，1，2，，，， 所以的分布列为012.19.如图，四棱锥中，，，，平面平面.（1）证明：；（2）若，是的中点，求平面与平面夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明平面来证得.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值，进而求得正弦值.【小问1详解】取中点，连接，则，又，，所以四边形为正方形，则，，又在中，，则，所以，，即．又平面平面PAC，平面平面，平面ABCD， 所以平面，又面，所以．【小问2详解】连接，交于，连，由于，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，所以平面，平面，所以，因为，所以，所以两两垂直，以为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，则平面PAC的一个法向量是，又，，，所以，，设是平面的法向量，则，令，可得，所以，所以，平面与平面夹角的余弦值为，正弦值为. 20.已知双曲线的左､右焦点分别为，点在上，且的面积为．（1）求双曲线的方程；（2）记点在轴上的射影为点，过点的直线与交于两点．探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）（2），为定值．【解析】【分析】（1）根据的面积为，表示为，结合双曲线方程，即可得到答案；（2）首先设直线的方程与双曲线方程联立，并用坐标表示和，并利用韦达定理表示，即可化简求解.【小问1详解】设双曲线的焦距为，由题意得，，解得，故双曲线的方程为．【小问2详解】 由题意得，，当直线的斜率为零时，则．当直线的斜率不为零时，设直线的方程为，点，联立，整理得，则，解得且，所以，所以．综上，，定值．21.设函数．（1）若曲线在点处的切线方程为，求a，b的值；（2）若当时，恒有，求实数a的取值范围； （3）设时，求证：．【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义列式求解；（2）构建，由题意可知：当时，恒有，且，结合端点效应分析求解；（3）由（2）可知：当时，，令，，可得，再令，可得，利用累加法分析证明.【小问1详解】因为，则，则，，即切点坐标为，斜率，由题意可得：，解得【小问2详解】令，则，由题意可知：当时，恒有，且，则，解得，若，则有：①当时，，因为，可知，令， 因为在内单调递增，可得在内单调递增，则，即，符合题意；②当时，则在内恒成立，符合题意；③当时，令，则，因为，则，，可知在内恒成立，则在内单调递增，可得，则在内单调递增，可得，符合题意；综上所述：实数a的取值范围为.【小问3详解】由（2）可知：当时，，令，可得，令，则，则，整理得，令，则，整理得，则，所以【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围． （2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．注，22与23题为选做题，2选1，均为10分.22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线与的直角坐标方程；（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．【答案】（1）（，），；（2）【解析】【分析】(1)根据诱导公式平方和为1消去参数,可得曲线的普通方程,根据可求出曲线的直角坐标方程;(2)先求出曲线的轨迹,再根据图象找出与有两个公共点时的临界情况,求出参数的范围即可.【小问1详解】∵曲线的参数方程为(为参数，)，∴曲线的普通方程为：（，），∵曲线的极坐标方程为，∴曲线的直角坐标方程为．【小问2详解】∵曲线的普通方程为：（，）为半圆弧，由曲线于有两个公共点，则当与相切时，得，整理得， ∴或（舍去），当过点时，，所以.∴当与有两个公共点时，．23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）设函数的最小值为，若且，求证：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定的值，利用基本不等式即可证明.【小问1详解】不等式可化为或，由，可得，解得或；由，可得，解得，所以不等式的解集为．【小问2详解】由题意，知，当时，，因在上单调递减，则；当时，，因在上单调递增，在上单调递减，故在无最小值，但是； 当时，，因在上单调递增，则.综上，当时，函数取得最小值2，即，所以，因，所以，当且仅当时等号成立，