导数解答题训练-2024届高考数学一轮复习Word版.docx

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2024年高考数学《导数》解答题训练1．（2022秋·浙江绍兴·高三校考阶段练习）已知函数在点处的切线方程为．(1)求函数的单调区间，(2)若函数有三个零点，求实数m的取值范围．2．（2022·江苏南通·统考模拟预测）已知函数.(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：.3．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）已知函数，(1)当时，求函数的最小值；(2)设，证明：曲线与曲线有两条公切线.8学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 4．（2022·江苏徐州·统考模拟预测）已知函数，函数的导函数为．(1)讨论函数的单调性；(2)若有两个零点，且不等式恒成立，求实数m的取值范围．5．（2022秋·浙江·高三校联考阶段练习）已知函数.(1)若函数有两个不同的零点，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点（其中），证明：.6．（2022·江苏连云港·模拟预测）已知函数．(1)已知直线是曲线的一条切线，求k的值；(2)若函数有两个不同的零点，，证明：．8学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 7．（2022春·浙江·高三校联考开学考试）设m为实数，函数．(1)求函数的单调区间；(2)当时，直线是曲线的切线，求的最小值；(3)若方程有两个实数根，，证明：．8．（2023·江苏南京·校考一模）已知函数(其中为自然对数的底数).（1）当时，求证：函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围.2024年高考数学《导数》解答题训练参考答案1．解（1）由题可得，由题意得，解得，所以，由得或，由得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是；（2）因为，由（1）可知，在处取得极大值，在处取得极小值，的单调递减区间是，单调递增区间是，依题意，要使8学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 有三个零点，则，即，解得，经检验，，根据零点存在定理，可以确定函数有三个零点，所以m的取值范围为．2．（1）解：因为，．所以，当时，，函数在上单调递增．当时，令，解得，当时，当时，所以函数在上单调递减，在上单调递增．综上可得：当时在上单调递增．当时在上单调递减，在上单调递增．（2）证明：当时，.要证，即证，即证，即，令，，即证，令，，所以，令，解得，当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，所以当时取得极小值即最小值，，即，所以；3．（1）解：令，则，，易知在上单调递增，且，所以时，，单调递减，时，，单调递增，，所以当时，函数有最小值为；（2）证明：曲线与曲线分别在点，处有公切线，等价于直线与直线重合，又，，即，消去得，令，则有（*），曲线与曲线有两条公切线即证（*）有两个不同的解，令，则，，∴，，单调递减；，，单调递增，故有最小值为，又，所以在区间上有唯一零点；下面考虑在区间上的零点情况：先证：对任意的正数，存在正实数，使得当时，都有（**），令，则，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有最小值，（i）当时，，可以是任意的正数；（ii）当时，由（i）知8学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，取，则当时，都有，所以对任意的正数，当时，都有，所以当，，当时，，所以取时，，所以在区间上也有唯一零点，综上，（*）有两个不同的零点即曲线与曲线有两条公切线.4．（1）由得，函数的定义域为，且，令，即，①当，即时，恒成立，在单调递增；②当，即时，令，当时，，的解或，故在上单调递增，在上单调递减；当时，，同理在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）可得，若有两个零点，则，且，因为，所以，由不等式，恒成立得，只需，又，设，则，由可得，，即在单调递减，所以，所以．5．解：（1），当时，，所以在上单调递增，不可能有两个零点，舍去.当时，在上单调递减，在上单调递增，因为有两个不同的零点，则∴因为，所以在上存在一个零点；又当时，，所以在上也存在一个零点综上，（2）（），则.因为有两个不同的极值点，（），则，，要证，只要证，因为，所以只要证，又∵，，作差得，所以，所以原不等式等价于要证明，即.令，，则以上不等式等价于要证，.令，，则，，8学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以在上单调递增，，即，，所以.6．解（1），设切点为，则切线斜率为切线方程为，即，因为直线是曲线的一条切线，所以，即，故；（2）由题可知函数有两个不同的零点，即，记，则，当时，，单调递增，不可能有两个零点，当时，令，得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，因为有两个零点，所以，解得， 所以不妨设，要证，即证，因为，，又在单调递增，所以即证，即证，构造函数，所以，所以在单调递减，且，所以当时，，即，，即，又在单调递增，故；7．解：（1），函数定义域为，，当时，在上恒成立，函数在上单调递增；当时，，解得，函数在上单调递增；，解得，函数在上单调递减．（2）当时，，设切点为，，则切线斜率，切线方程为，，，，，令，函数定义域为，，，；，在上单调递减，在上单调递增，，即的最小值为（3）证明：，即，则，令，函数定义域为，，，；，∴在上单调递增，在上单调递减，，，不妨设，，令，，所以，，，要证，只要证，只要证，8学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 令，，，，；，在上单调递减，在上单调递增，，，（1），则存在，使得，在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，，，在上恒成立，得证．8．解：（1）证明：时，，，设，则，令，解得：，故在区间上单调递减，在上单调递增，故的最小值是，即对任意恒成立，故函数图象上任意一点处的切线斜率均大于；（2）先证对任意，，，令，，令，解得：，故在区间递增，在递减，故，故，令，，，令，解得：，故在区间递减，在区间递增，故，故，递增，故，故，，，对于任意，恒成立，，故，当时，，即对于任意的，恒成立，综上：的取值范围是.8学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 8学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司