湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考数学Word版含解析.docx

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高三数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合，逻辑，函数，导数，不等式，数列，向量，三角函数（不含解三角形）.一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数，则其共轭复数（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的除法运算法则、共轭复数的定义运算即可得解.【详解】解：由题意：，∴由共轭复数的定义得.故选：C.2已知全集，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用补集、交集的定义求解作答.【详解】解不等式，即，解得，即，解不等式，得，即，或，所以. 故选：B3.命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意结合恒成立问题可知，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断.【详解】因为，即，且，则，由题意可得，选项中只有选项D满足是的真子集，所以命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是.故选：D.4.如图所示，向量，，，在一条直线上，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：，即.故选：B.5.已知曲线在处的切线与直线垂直，则的值为（）A.4B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得曲线在处的切线斜率为 ，结合垂直关系运算求解即可.【详解】因为，可得，即曲线在处的切线斜率为，且直线的斜率为，由题意可得：，解得.故选：B.6.设是定义域为的奇函数，且，当时，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据题意可得4为周期，根据题意结合周期性运算求解.【详解】因为，则，可知4为的周期，且，可得.故选：C.7.已知，化简的结果是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.【详解】因为， 且，则，可得，所以；又因为，且，可得，所以；综上所述：.故选：A.8.已知向量，，若关于的方程在上的两根为，则的值为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用数量积的坐标运算、正弦型函数的图象与性质、同角三角函数基本关系式运算即可得解.【详解】解：由题意，，可得：，设，当时，.且由，得在上的对称轴为.∵方程在上的两根为，∴，， 且由得，∴.∴，∵当时，，∴，即有.又∵，∴，则，∴由得：，∴.故选：B.【点睛】三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和求法：1.思路：函数图象的对称轴和对称中心可结合图象的对称轴和对称中心求解.2.方法：利用整体代换的方法求解，令，，可解得对称轴方程；令，，可解得对称中心横坐标，纵坐标为.对于、，可利用类似方法求解（注意的图象无对称轴）.二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求）9.在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（）A.数列是等比数列B.C.D.数列是等差数列【答案】BCD【解析】【分析】根据等比数列的性质得到，即可得到关于和方程组，结合条件解得和，从而得到，再逐一分析各个选项，即可求解.【详解】因为数列为等比数列，则， 由，解得：或，则或，又为整数，所以，且，，所以B选项正确；又，所以，则，，，所以C选项正确；因为，所以不是等比数列，所以A选项错误；又有，所以数列是公差为1的等差数列，所以D选项正确；故选：BCD.10.已知实数，，满足，，，则下列结论正确的是（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】根据指数和对数的转化得到，，，对于A选项，根据即可判断；根据对数的换底公式得到，即可判断；对于C选项，利用作差法和换底公式结合基本不等式即可判断；对于D选项：根据基本不等式即可判断.【详解】因为，，，所以，，，对于A选项：因为，则，即，所以，故A选项错误；对于B选项：，故B选项正确；对于C选项：， 因，所以，又，所以，即，所以，故C选项错误；对于D选项：因为，，所以，故D选项正确；故选：BD.11.函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.B.函数的零点为，C.若，则，D.若，则【答案】ACD【解析】【分析】根据正弦函数的图象与性质求得和，代入点，求得，从而得到，根据正弦的函数的性质判断ABC选项，对于D选项：利用三角恒等变换得到，其中，，再结合同角三角函数关系即可求解. 【详解】对A：由函数图象得，且函数的周期满足：，则，解得：，即，代入点得：，，解得：，又，所以，故A选项正确；则，对B：令，得，，解得：，，所以函数的零点为，，故B选项错误；对C：因为，又，即，且，则，，所以C选项正确；对D：又，即，则，所以，其中，，故，所以，，即，，则，所以D选项正确；故选：ACD.12.已知数列的前项和，，数列的前项和满足对任意恒成立，则下列命题正确的是（） A.B.当为奇数时，C.D.的取值范围为【答案】AC【解析】【分析】利用可判断A；求出，分为奇数、为偶数，求出可判断BC；分为奇数、为偶数，利用分离，再求最值可判断D.【详解】当时，，当时，，适合上式，所以，故A正确；所以，当为奇数时，，故B错误；当为偶数时，，所以，故C正确；当为奇数时，，若，则，即，所以，而，即；当为偶数时，则得， 即，而，即，综上所述，，故D错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是分类讨论、分离参数求最值．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知平面向量，，那么在上的投影向量坐标为______.【答案】【解析】【分析】利用向量的运算和投影向量的计算公式即可.【详解】，所以，同理可得：，且，，在上的投影向量为：故答案为：14.已知函数在上是增函数，则的最小值是______.【答案】【解析】【分析】由于在上是增函数，则在上恒成立，可得以在上恒成立，即在上恒成立，令，求导确定单调性即可得最值从而可得的取值范围，即可得所求. 【详解】因为函数在上是增函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，则，所以当时，，函数递增；当时，，函数递减，则，故，所以的最小值是.故答案为：.15.购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济.【答案】乙【解析】【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为，每次购n，根据条件，求得按甲策略购买的平均价格x，若按第二种策略，设每次花钱m元钱，则可求得按乙策略购买的平均价格y，利用作差法，即可比较x，y的大小，进而可求得答案.【详解】设第一次和第二次购物时价格分别为，按甲策略，每次购n，按这种策略购物时，两次的平均价格，按乙策略，第一次花m元钱，能购物物品，第二次仍花m元钱，能购物物品，两次购物的平均价格，比较两次购物的平均价格，因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济， 故答案为：乙.16.已知函数若关于的方程，有4个不同的实数根，则的取值范围为______.【答案】【解析】【分析】作出与的图象，即可判断【详解】作出的图象，因为的图象是过定点，并且是绕着该点旋转的两条关于对称的的射线.当时，为轴，两函数图象只有3个交点，不符合题意.当时，的是两条向下的射线，两图象只有1个交点，不符合题意.故，先考虑时两图象的交点情形，当时，,与刚好只交于点.证明如下：当时，在点处，由，故，令，则，所以切线方程为：；当时，在点处，由，故，令，则，所以切线方程为：；所以当时在，两图象只有一个交点，此时考虑，当，两函数图象必有一个交点，当时，，所以两函数图象在有一个交点， 当时，联立得，无解，所以没有交点；所以当时，只有3个交点，不合题意.当时，，两射线更加陡峭，两函数图象在时，没有交点，在有一个交点，则在有两个交点，另外两个交点要在取得，当，即时，在和各一个交点；故在时，两图象有4个交点.当时，，两射线趋于平缓，则两函数图象在有一个交点，在没有交点，则在有2个交点，另两个必须在取得，若与相切，则联立得，；此时两函数图象在有三个公共点.所以在时，两函数图象在有2个交点，在也有2个公共点，符合题意；当，两函数图象在有2个交点，在也有3个公共点，不符合题意；综上所述，的取值范围为.故答案为： 四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数在处有极值2.（1）求，的值；（2）求函数在区间上的最值.【答案】（1），（2）最小值是，最大值是2.【解析】【分析】（1）利用极值和极值点列方程求解即可；（2）根据导数求出函数的单调区间，然后比较极值和端点处函数值的大小即可.【小问1详解】，.∵函数在处取得极值2，∴，，解得，，∴，经验证在处取得极大值2，故，.【小问2详解】，令，解得， 令，解得或，因此在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，，故函数的最小值是，，故函数的最大值是2.18.设函数.（1）求函数的值域和单调递增区间；（2）当，且时，求的值.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）根据辅助角公式和三角函数的图象与性质即可得到答案；（2）代入得，再求出，再利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式即可得到答案.小问1详解】，因为，所以函数的值域是.令，，解得，，所以函数的单调递增区间为，.【小问2详解】 由，得.因为，所以，所以，所以，所以，所以19.已知且，函数在上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数为奇函数；②；③.（1）从中选择的两个条件的序号为______，依所选择的条件求得______，______.（2）在（1）的情况下，关于的方程在上有两个不等实根，求的取值范围.【答案】（1）选择①②，，（2）【解析】【分析】（1）通过单调性分析可知一定满足①②，进而结合奇偶性和列方程求解即可；（2）参变分离可得，，，换元转化为在上有两个解，进而结合对勾函数的单调性求解即可.【小问1详解】因为在上是单调递减函数，故②，③不会同时成立，故函数一定满足①函数为奇函数. 因为函数的定义域为，所以，则，，故一定满足②.选择①②，，即，而，解得.【小问2详解】由（1）可得，由，则，即，令，因为，所以，则问题转化为在上有两个解，显然，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，要使在上有两个解，则，所以的取值范围是.20.在中，角，，所对的边分别是，，，，，且. （1）求的正弦值；（2），边上的两条中线，相交于点，求的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）运用正弦定理对进行转化，得出角，再由正弦定理解出的正弦值；（2）运用余弦定理以及向量知识求出、、的值，根据题意得到为重心，从而得出、，进而得出的余弦值.【小问1详解】解：因为，由正弦定理可得，，即，整理得.因为，所以，所以，即.又因为，所以.由正弦定理，得.【小问2详解】由余弦定理得， 即，所以.在中，由余弦定理得，则.在中，，所以，解得.由，分别为边，上的中线可知为的重心，可得，.在中，由余弦定理得，又因为，所以.21.数列满足，，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，，数列的前项和为，求 对任意都成立的最小正整数.（参考公式：，）【答案】（1）（2）1012【解析】【分析】（1）先写出，结合题中条件的式子，两式相减可得出与之间的递推关系，从而解决问题；（2）先分析出中各项所满足的通项公式，根据通项公式求解出，裂项求解出，从而求解出满足题意的值.【小问1详解】解：，当时，，作差，得，即.因为，，所以，满足，即为常数列，即，.【小问2详解】由题意，，即.设，，则，， .因为对任意都成立，所以，即，的最小值为1012.22.设函数，，.（1）讨论在区间上的单调性；（2）若在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增（2）.【解析】【分析】（1）求导得到，再分别解不等式和，即可得到在区间上的单调性；（2）根据条件得到时，，构造函数（），求导得到，再利用导数研究函数的单调性，从而得到在上单调递增和分类讨论和即可求解.【小问1详解】由题意得：，.由，得，由，得，即在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】 由时，，得，即.设，，则，设，则当时，，，所以，所以即在上单调递增，则.①当时，则，所以上单调递增，所以恒成立，符合题意.②当时，则，且时，，则必存在正实数满足当时，，在上单调递减，此时，不符合题意.综上，的取值范围是.【点睛】关键点睛：利用导数证明不等式时，一般需要对结论进行合适的转化，本题转化为只需证明在上的最小值大于即可，对不等式适当变形，构造函数是解决问题的第二个关键所在，一般需利用导数研究函数的单调性及最值，.