湖南省部分学校2024届高三上学期入学摸底考试数学Word版含解析.docx

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2024届高三入学摸底考试数学试卷本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.若复数z满足，则在复平面内，z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和2，圆台的高为3，则圆台的体积为（）A.B.C.D.4.若圆心在第一象限的圆过点，且与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（）A.1B.C.2D.5.已知函数.若，且，则的取值范围为（）A.B.C.D.6.已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为（）A.B.C.D.7. 甲、乙两位游客慕名来到张家界旅游，准备从天门山、十里画廊、袁家界、大峡谷4个景点中随机选择其中一个，在甲、乙两位游客选择的景点不同的条件下，恰好有一名游客选择大峡谷景点的概率为（）A.B.C.D.8.已知函数，其中，则“”是“函数有两个极值点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频数B.数据1，3，4，5，7，9，11，16的第75百分位数为10C.在残差图中，若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高D.若随机变量，，则10.如图，在平面直角坐标系xOy中，阿基米德螺线与坐标轴依次交于点，，，，，…，则下列结论正确的是（）A.点的坐标为B.的面积为56C.（其中）D.若的面积为169，则n的值为1211.如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段上的动点（含端点），以正方体中心O为球心的球与正方体的每条棱有且只有一个公共点，则下列结论正确的是（）A.球O的表面积为 B.球O在正方体外部的体积小于C.存在点P，使得D.直线NP与平面ABCD所成角的正切值的最小值为12.已知抛物线C：的焦点为，P是抛物线C上位于第一象限内的点，过点P且斜率为的直线交抛物线C的准线l于点Q，点P在准线l上的射影为点R.若，则下列结论正确的是（）A.抛物线C的标准方程为B.C.D.四边形FPRQ的面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若向量，满足，，则向量与的夹角为______.14.已知，则的值为______.15.已知函数的定义域为，是奇函数，，，则______.16.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，以为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点P，且，则双曲线C的离心率为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列是等差数列，且.（1）求的通项公式；（2）设数列满足，证明：数列是等比数列，并求数列的前n项和.18.（本小题满分12分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.（1）求角B的大小； （2）若B的角平分线交AC于点D，且，求面积的最小值.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，E为PC的中点.（1）求证：平面PAD；（2）若，平面平面ABCD，求二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为；该应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为，，m，其中.技能测试是否通过相互独立.（1）若，分别求该应聘者应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率；（2）若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应聘者只能应聘其中一家，若以专业技能测试通过项目数的数学期望为决策依据，该应聘者更希望通过乙公司的技能测试，求m的取值范围.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）若，，求a的取值范围；（2）当时，记函数的最大值为M，证明：.22.（本小题满分12分）已知椭圆C：的左、右焦点别为，，离心率为，P是椭圆C上一动点，面积的最大值为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）不过原点O的动直线l与椭圆C交于A，B两点，平面上一点D满足，连接BD交椭圆 C于点E（点E在线段BD上且不与端点重合），若，求原点O到直线l的距离的取值范围.2024届高三入学摸底考试·数学参考答案1.【答案】A【解析】由不等式，可得，即集合，又集合，所以.故选A.2.【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以z对应的点位于第二象限，故选B.3.【答案】C【解析】由已知圆台的体积为，故选C.4.【答案】D【解析】由题设可设圆心为，则圆的半径为a.故圆的方程为，再把点代入得，解得，故圆的方程为，故所求圆的圆心为，故圆心到直线的距离.故选D.5.【答案】D【解析】由得.根据函数的图象及，得，，所以.令，根据对勾函数的图象与性质易得在上单调递增，所以.故，故选D. 6.【答案】B【解析】因为函数的两条相邻的对称轴之间的距离为，所以，即，解得，从而，即，所以，解得，，又，所以，故选B.7.【答案】C【解析】记事件A：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好有一人选择大峡谷景点，由题知，，，所以，故选C.8.【答案】B【解析】由题意知：定义域为，，令，则，令，则，∴当时，；当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，又，当时，恒成立，∴大致图象如图所示，则当，即时，与有两个不同交点，此时有两个零点，所以有两个极值点；因为时，成立，有两个极值点，但时，若，，所以没有极值点，所以 是函数有两个极值点的必要不充分条件，故选B.9.【答案】BCD【解析】对于A，在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故A错误；对于B，因为，故该组数据的第75百分位数为第6个数和第7个数的平均数10，故B正确；对于C，由残差定义，如果样本数据点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高，故C正确；对于D，根据正态分布密度函数的性质知，∴，，，故D正确.故选BCD.10.【答案】ACD【解析】由题意，螺线与坐标轴依次交于，，，，，…，可知，故选项A正确；可得，，，所以，故选项C正确；的面积为，故选项B错误；因为，又的面积为169，可得，解得.故选项D正确.故选ACD.11.【答案】ACD【解析】对于A，如下图所示，正方体的棱切球O的半径，所以球O的表面积为，故A正确；对于B，若球体、正方体的体积分别为，，球O在正方体外部的体积 ，故B错误；对于C，设CD中点为Q，连接MQ，PQ，若P为中点，则平面ABCD，MN在面ABCD内，所以，在中，，，所以，故，因为，PQ，平面NPQ，所以平面NPQ，因为平面NPQ，所以，故C正确；对于D，过点P作平面ABCD，连接NH，则直线NP与平面ABCD所成角为，所以，当P在时，，所以，故D正确.故选ACD.12.【答案】ABD【解析】由已知，故A正确；因为点P在准线l上的射影为点R，即，所以，因为，即PQ为的角平分线，所以，故B正确；点Q是斜率为的直线与抛物线准线的交点，，如图所示，设，则直线PQ为 ，令，得，由，整理可得，则，得，故，故选项C错误；由，得直线PQ为，令得，又，从而，所以四边形FPRQ的面积为，故D正确.故选ABD.13.【答案】【解析】设向量，夹角为，由已知，得，又，所以.14.【答案】【解析】因为，所以，所以，所以，所以.15.【答案】2【解析】因为是奇函数，所以，又，可得，所以，所以，所以是周期为4的周期函数，因为，所以，， 所以.16.【答案】【解析】连接OP，由已知，在中，，在中，，则，又，则由余弦定理得，解得，由知，即（由题意，联立方程，可求得点P的坐标为），所以在中，，即，则，所以双曲线C的离心率.17.【解析】（1）由已知为等差数列，记其公差为d.当时，，两式相减得，……2分所以，解得，……3分当时，，得，所以，……4分所以；……5分（2）由（1）知，所以，……7分又，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，……8分所以（或；）.……10分18.【解析】（1）因为，所以……1分 ，所以，……3分由于，则，所以，……4分即，又，所以；……6分（2）因为B的角平分线交AC于点D，且，，根据三角形面积公式可得，……8分又，得，得，当时等号成立，……10分所以，即的面积最小值为.……12分19.【解析】（1）取CD的中点O，连接EO，BO，∵E为PC中点，∴，而平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，……2分∵，，∴，又，∴，∴,∴为等边三角形，∴，又，∴，……4分而平面PAD，平面PAD，∴平面PAD，又，∴平面平面PAD，而平面EOB，∴平面PAD；……6分（2）∵，∴.∵平面平面ABCD，∴平面ABCD，又为等边三角形，∴，……7分∵在中，，，∴，∵，∴，在等边中，∵，∴，.……8分以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则，，，，∴，，，……9分设平面PCB的法向量为， 所以，令，则，……10分∵，∴平面ABCD，平面平面ABCD，∴平面ABCD，∴平面PCD的一个法向量为，……11分∴，故二面角的余弦值为.……12分另解：又为等边三角形，∴，又平面平面ABCD，平面平面，∴平面PCD，过点O作，连接BH，则，故为二面角的平面角.……9分∵在中，，，∴，∵，∴，在等边中，∵，∴，.∴，，……11分所以.故二面角的余弦值为.……12分20.【解析】（1）设该应聘者应聘甲公司恰好通过两项技能测试为事件A，应聘乙公司恰好通过两项技能测试为事件B，根据题意可得，……2分 ；……5分（2）设该应聘者应聘甲公司通过的项目数为X，应聘乙公司通过的项目数为Y，根据题意可知，，则，……6分，……7分，……8分，，……9分则随机变量Y的分布列为Y0123P……10分，……11分若，则，故，即m的取值范围是.……12分21.【解析】（1）由，，得，……1分令，，则，……2分又时，，可知，所以在上单调递减，……4分所以，故；……5分（2）由可知的定义域为， 因为，……6分，所以在上单调递减，……7分，，存在，使得，即，……8分当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以在处取得唯一极大值，也是最大值，……9分所以，……10分令，，则，单调递增，……11分故，所以.……12分22.【解析】（1）设椭圆半焦距为c，点，则，则，即.……2分又，，求得，，，……3分所以椭圆C的标准方程为；……4分（2）如图所示，设，，当直线l的斜率存在时，设直线l：，与联立可得，且有，， .……5分，……6分由可得点A为OD中点，可得，且有，所以可得，即点E的坐标为，……7分将点E代入椭圆，可得，化简后，得，……8分由于点A，B分别满足，，代入上式可得，即.……9分代入韦达定理可得，满足（*）式，……10分点O到直线l的距离，由于，可得，，所以；……11分当直线l的斜率不存在时，此时有，，代入，可得，又，可得，所以直线l的方程为，点O到直线l的距离为. 故原点O到直线l的距离的取值范围为.……12分