安徽省蚌埠市2023届高三四模数学（原卷版）

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蚌埠市2023届高三年级第四次教学质量检查考试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.已知为虚数单位，复数满足，则（）A.B.C.D.3.已知等差数列满足，则（）A.B.C.D.4.已知实数满足且，则下列不等关系一定正确的是（）A.B.C.D.5.将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点顺时针旋转后，交单位圆于点，那么（）AB.C.D.6.如图是函数图象的一部分，设函数，，则可以是（）A.B.

1C.D.7.在中，已知，若，则（）AB.C.D.8.已知双曲线的右焦点为，过点的直线分别与双曲线的渐近线平行，与渐近线的交点记为，若为等边三角形，且面积为，则（）A.B.C.3D.2二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某校在开展的“体育节”活动中，为了解学生对“体育节”的满意程度，组织学生给活动打分（分数为整数，满分100分），发现分数均在内.从中随机抽取一个容量为300的样本，并将这些数据分成6组并作出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形（如图所示），则下列说法中正确的是（）A.样本中分数落在的频数为60人B.样本的众数为75分C.样本的平均数为73.5分D.样本的80百分位数为85分10.袋中有大小相同的8个小球，其中5个红球，3个蓝球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.记“第一次摸球时摸到红球”为事件，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件；“第二次摸球时摸到红球”为事件，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件，则下列说法正确的是（）A.B.C.D.

211.已知正方体的棱长为6，点分别是棱的中点，是棱上的动点，则（）A.直线与所成角的正切值为B.直线平面C平面平面D.到直线距离为12.设定义在R上的函数与的导数分别为与，已知，，且的图象关于直线对称，则下列结论一定成立的是（）A.函数的图象关于点对称B.函数的图象关于直线对称C.函数的一个周期为8D.函数为奇函数三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，则在上的投影向量为___________.（用坐标表示）14.如今中国被誉为“基建狂魔”，可谓逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切.若，则该模型中最小小球的半径为___________.15.已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，若

3三点共线，且的外接圆交于点的外接圆交于点，则___________.16.函数的部分图象如图所示，若，且，则___________，___________.四､解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出说明文字､演算式､证明步骤.17.已知的内角，，所对的边分别为，且满足.（1）求角；（2）若的面积为，点在边上，是的角平分线，且，求的周长.18.已知数列和，，，.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.19.某省高考改革新方案，不分文理科，高考成绩实行“”的构成模式，第一个“3”是语文､数学､外语，每门满分150分，第二个“3”由考生在思想政治､历史､地理､物理､化学､生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试，每门满分100分，高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理､化学､生物的选考情况，将“某市某一届学生在物理､化学､生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体，从学生群体中随机抽取100名学生进行调查，他们选考物理，化学，生物的科目数及人数统计如表：123

4选考物理､化学､生物的科目数人数104050（1）从这100名学生中任选2名，求他们选考物理､化学､生物科目数量相等的概率；（2）从这100名学生中任选2名，记表示这2名学生选考物理､化学､生物的科目数量之差的绝对值，求随机变量的数学期望；（3）用频率估计概率，现从学生群体中随机抽取4名学生，将其中恰好选考物理､化学､生物中的两科目的学生数记作，求事件“”的概率.20.已知三棱柱中，侧面正方形，底面是等腰直角三角形，且为线段中点，.（1）求证：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面与平面夹角为，且满足？若不存在，请说明理由；若存在，求出的长度.21.已知椭圆的离心率为分别为椭圆的上､下顶点，且.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆交于两点（异于点），且的面积为，过点A作直线，交椭圆于点，求证：.22.已知函数.（1）证明：；

5（2）证明：函数在上有唯一零点，且.

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