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2022——2023学年高二年级上学期阶段性测试（二）数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线：与两坐标轴围成的三角形的面积是A.5B.4C.3D.22.已知在空间四边形中，，则A.B.C.D.3.已知圆关于直线对称，且点在该直线上，则实数A.3B.2C.-2D.-34.已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线的斜率的取值范围是A.B.C.D.5.若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数A.-1B.1C.±1D.06.在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为A.B.C.D.7.某公司要建一个以甲、乙，丙三地为顶点的大型三角形养鱼场，若甲、乙两地之间的距离为12km，且甲、丙两地的距离是乙，丙两地距离的倍，则这个三角形养鱼场的面积最大是
1A.B.C.D.8.已知抛物线C：的焦点为F，点M在C上，点P的横坐标为-1，点Q的纵坐标为0，若，则A.4B.3C.D.2二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知空间中三点，，，则A.向量与互相垂直B.与方向相反的单位向量的坐标是C.与夹角的余弦值是D.在上的投影向量的模为10.已知曲线：，则A.若曲线表示焦点在轴上的双曲线，则的焦距为B.若曲线表示椭圆，则的取值范围是C.若，则的焦点坐标是和D.若，则的渐近线方程为11.已知圆：与圆：，则A.若圆与轴相切，则B.若，则圆与圆相交C.当时，两圆的公共弦长为D.直线与圆始终有两个交点
212.已知椭圆：的左顶点为，左、右焦点分别为，，点在上，且直线AM的斜率为.点P是椭圆C上的动点，则A.椭圆的离心率为B.若，则点的横坐标的取值范围是C.的取值范围为D.上有且只有4个点，使得是直角三角形三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知空间向量，，，则与的夹角为__________.4.已知椭圆：的短轴长为6，，是椭圆C的两个焦点，点M在C上，若的最大值为16，则圆C的离心率为__________.15.已知直线与圆：交于A，B两点，则的面积的最大值为__________.16.已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过点且斜率为的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，若是等腰三角形，则双曲线的离心率为__________.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（10分）已知在中，边BC和AC所在的直线方程分别为和，边AB的中点为.（Ⅰ）求点，的坐标；（Ⅱ）求BC边上的中线所在的直线的方程.18.（12分）如图，在棱长为2的正方体中，线段DB的中点为F，点G在棱CD上，且满足
3.（Ⅰ）若E为棱的中点，求证：；（Ⅱ）求直线与所成角的余弦值.19.（12分）已知圆：过点，且圆关于直线：对称的圆为圆.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.20.（12分）已知抛物线：，直线与抛物线C相交于A，B两点，且.（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为，过抛物线焦点的直线交C于M，N两点，求的最小值.21.（12分）如图，在三棱锥中，是斜边为AC的等腰直角三角形，是边长为4的等边三角形，且，为棱AC的中点.（Ⅰ）证明：平面ABC.（Ⅱ）问：在棱BC上是否存在点M（不与棱BC的端点重合），使得平面PAM与平面PAC的夹角为30?若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.
422.（12分）已知椭圆：的左焦点为，左顶点为，离心率为.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若过坐标原点且斜率为的直线与E交于A，B两点，直线AF与的另一个交点为，的面积为，求直线的方程.
52022——2023学年（上）高二年级阶段性测试（二）数学·答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.答案D命题意图本题考查直线在轴和轴上的截距.解析由题可知直线与两坐标轴的交点分别为（0，-2），（2，0），所以该直线与两坐标轴围成的三角形的面积是.2.答案A命题意图本题考查空间向量的运算.解析因为，故G为CD的中点，如图，由平行四边形法则可得，所以.3.答案D命题意图本题考查直线与圆的位置关系.解析圆的圆心为，依题意，点在直线，因此，即，又，所以，.4.答案B命题意图本题考查直线的斜率.解析过点C的直线与线段AB相交，，，又该直线与轴垂直时，斜率不存在，所以该直线的斜率的取值范围是为.5.答案D命题意图本题考查两圆的位置关系.解析将化为标准方程得，即圆心为
6，半径为2，圆的圆心为，半径为1.因为圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆的位置关系为内切，所以，即，解得.6.答案C命题意图本题考查空间向量的应用.解析以为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，.设平面的法向量为，则令，解得，，∴.∵，，∴直线与平面所成角的余弦值为.7.答案B命题意图本题考查圆的实际应用.解析以点A，B，C分别表示甲、乙、丙地，以线段AB的中点О为原点，线段AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，如图，则，，设点，则，即，整理可得，∴点C的轨迹是以点为圆心，为半径的圆除去与轴的交点后所得曲线，∴.
78.答案A命题意图本题考查抛物线的性质.解析抛物线的焦点为，准线的方程为：.因为点M在C上，设.由题可得，则，即轴，又因为，所以与均为等边三角形.不妨设，则MF所在的直线方程为.将代入，得，解得，所以点的横坐标为3，.二、多项选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.答案ABC命题意图本题考查空间向量的坐标运算.解析由已知可得，，.因为，所以与互相垂直，故A正确；，所以与方向相反的单位向量的坐标是，故B正确；，，，所以，故C正确；在上的投影向量的模为，故D错误.
810.答案AC命题意图本题考查圆锥曲线的性质.解析由题可得，，解得，则，，，则C的焦距为，A正确；因为，若曲线C表示椭圆，则，B错误；当时，曲线：，则，，则，所以的焦点坐标是和，C正确；当时，曲线：表示双曲线，则其渐近线方程为，D错误.11.答案BD命题意图本题考查直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系.解析由题可知圆：.若圆与x轴相切，则有，所以，故A错误；当时，，两圆相交，故B正确；当时，两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为1，所以两圆的公共弦长为，故C错误；直线过定点，而，故点在圆内部，所以直线与圆始终有两个交点，故D正确.12.答案CD命题意图本题考查椭圆的方程与性质.解析由题意可知直线的方程为，令，可得，则，又椭圆C过点，所以，解得，所以C的方程为.设椭圆的半焦距为，则，椭圆的离心率为，故A错误；当点Р为椭圆C的上下顶点时，，所以若，则点P的横坐标的取值范围是，故B错误；设，，则，所以，又，，则
9，因为，所以，所以，故C正确；分析可知，当点Р为椭圆C的上下顶点时最大，此时为锐角，所以以点Р为直角顶点的不存在，以点，为直角顶点的分别有2个，所以C上有且只有4个点P，使得是直角三角形，故D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.答案命题意图本题考查空间向量夹角的求解.解析由题可知，因为，所以，所以，又，所以与的夹角为.14.答案命题意图本题考查椭圆的性质及基本不等式.解析因为，所以（当且仅当时，等号成立）.由题可知，所以，又，解得，所以.15.答案命题意图本题考查直线与圆的位置关系.解析圆：的圆心坐标为，半径.由圆心到直线的距离，解得.直线被圆截得的弦长为，所以的面积
10，当且仅当，即或1时取“=”.16.答案命题意图本题考查双曲线的性质及直线与双曲线的位置关系.解析不妨设点Р在第一象限，双曲线C的半焦距为，因为与C的右支有两个交点，C的一条渐近线的斜率，则C的离心率.若，根据双曲线的定义知，所以，所以，.由题可知，在中，由余弦定理可得，整理得，即，解得（负值舍去），此时，满足条件.若，则与上面的分析类似可得，，在中，，再由余弦定理求得，此时不满足条件.综上可得.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.命题意图本题考查两直线的位置关系及直线方程的求解.解析（1）因为边AB的中点为.设，，则解得即，.（Ⅱ）设边BC的中点为G.由于边BC和AC所在的直线方程分别为和，
11所以两直线方程联立，解得，，即C点的坐标为.又B点的坐标为，所以点的坐标为.又A点的坐标为，所以直线的方程为，即.18.命题意图本题考查空间向量的应用.解析（Ⅰ）如图，以D为原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，.因为，，所以.所以，故.（Ⅱ）由（Ⅰ）中的坐标系及题意可知，，，.因为，.所以，
12又，，所以，故直线与所成角的余弦值为.19.命题意图本题考查直线与圆的方程的求解.解析（Ⅰ）由题可知.因为圆过点，所以，故.设关于直线的对称点的坐标为，则解得所以圆的方程为.（Ⅱ）因为过点的直线被圆截得的弦长为8，故圆心到直线的距离为（ⅰ）当直线的斜率不存在时，其方程为，满足题意；（ⅱ）当直线的斜率存在时，可设其方程为，即，所以圆心到的距离为，解得.综上所述，直线的方程为或.20.命题意图本题考查抛物线的方程与性质及直线与抛物线的位置关系.解析（Ⅰ）设点A，B的横坐标分别为，.由可得.∴，.∴，
13解得（负值舍去），∴抛物线C的方程为.（Ⅱ）设，.由题意知抛物线的焦点坐标为，直线的斜率不等于0，故可设直线的方程为，由可得，由根与系数的关系得，，∴，∴当时，取得最小值，且最小值为13.21.命题意图本题考查线而垂直的证明及平面与平面的夹角的余弦值的求解.解析（1）由题可知，，且，∴.连接BO，如图，则，且.∵是边长为4的等边三角形，∴，，且.从而有，故.∵，∴平面.
14（Ⅱ）假设存在满足题意的点.由（Ⅰ）可知，可以О为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，.，，.设，.则.设平面AMP的法向量为，则令，得.易知平面的一个法向量为.∵平面PAM与平面PAC的夹角为30°，∴，
15解得或（舍去），∴点M在棱BC的靠近点B的三等分点处.22.命题意图本题考查椭圆的方程与性质及直线与椭圆的位置关系.解析（Ⅰ）设椭圆E的半焦距为.因为椭圆的左顶点为，所以.又离心率，所以.所以，所以的方程为.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，左焦点的坐标为.当直线AF垂直于x轴时，易知点A的坐标为.由椭圆的对称性知，点A，B关于原点О对称，所以，与题意不符.所以直线AF的斜率存在，设其方程为.由消去并整理得.设，，则，，所以.因此，解得，即，所以直线的方程为或.
