重庆市2022-2023学年高二上学期期末联考数学含答案

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重庆市2022-2023学年高二（上）期末质量检测数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚；2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效；3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回；4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果A(1,5,−1)，B(2,4,1)，C(a,3,b+2)三点共线，那么a−b=(    )A.1B.2C.3D.42.如果双曲线x24−y212=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是(    )A.4B.12C.4或12D.不确定3.已知三角形的三个顶点A(2,4)，B(3,−6)，C(5,2)，则BC边上中线的长为(    )A.210B.10C.112D.3104.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥P−ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，且EC=2PE，若AB=a,AC=b,AP=c，则DE=(    )A.13a−23b+23cB.13a+23b+23cC.a−23b+23cD.a+23b−23c5.抛物线C：y2=−12x的焦点为F，P为抛物线C上一动点，定点A(−5,2)，则|PA|+|PF|的最小值为(    )A.8B.6C.5D.96.如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=22，则下列结论中错误的是(    )A.AC⊥BEB.EF//平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE，BF所成的角为定值7.设P是双曲线x216−y24=1右支上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，则|PF1|−|PF2|等于(    )A.23B.43C.8D.168.直线l：kx−y−2=0与曲线C：1−(y−1)2=x−1只有一个公共点，则实数k范围是(    )A.(3,+∞)∪(−∞,−3)B.[32,+∞)C.

1(2,4]∪{43}D.(−3,32]二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分。9.设P是椭圆x25+y23=1上的动点，则(    )A.点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为25B.点P到该椭圆的两个焦点的距离之和为22C.点P到左焦点距离的最大值为5+2D.点P到左焦点距离的最大值为5+2210.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E、F、G分别为BC、CC1，BB1的中点、则下列选项正确的是(    )A.若点M在平面AEF内、则必存在实数x、y使得MA=xME+yMFB.直线A1G与EF所成角的余弦值为1010C.点A1到直线EF的距离为342D.存在实数λ、μ使得A1G=λAF+uAE11.已知圆F1：(x+4)2+y2=m2(10)与直线l：x=4交于P，Q两点，且OP⊥OQ.抛物线C的准线与x轴交于点M，G(x0,y0)是以M为圆心，|OM|为半径的圆上的一点(非原点)，过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B.则(    )A.p=4B.直线AB的方程为2x−y0y+2x0=0C.−2≤x0<0D.△ABG面积的最大值是62三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.求过两条直线x−2y+4=0和x+y−2=0的交点，且与3x−4y+2=0平行的直线方程______．14.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为a，异面直线BD与A1B1的距离为______．15.已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆C：x2+(y+3)2=1外切，动圆圆心M的轨迹方程是______．16.已知F为椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，M为线段OF垂直平分线与椭圆C的一个交点，若cos∠MOF=37，则椭圆C的离心率为______．

2四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.椭圆Γ：x24+y2=1．(1)点C是椭圆Γ上任意一点，求点C与点D(0,2)两点之间距离d的最大值和最小值；(2)A和B分别为椭圆Γ的右顶点和上顶点．P为椭圆Γ上第三象限点．直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求(|PM||MA|)2+(|PN||NB|)2．18.已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,−2)，且圆心C在直线l：x−y+1=0上．(1)求圆心为C的圆的一般方程；(2)已知P(2,1)，Q为圆C上的点，求|PQ|的最大值和最小值．19.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，AA1=3，E点为棱AB的中点．(1)求二面角A−EC1−C的余弦值；(2)连接EC，若P点为直线EC上一动点，求当P点到直线BB1距离最短时，线段EP的长度．20.如图，在底面半径为1，高为3的圆锥中，O是底面圆心，P为圆锥顶点，A，B是底面圆周上的两点，∠AOB=2π3，C为母线PB的中点．(1)求该圆锥的表面积；(2)求在该圆锥的侧面上，从A到C的最短路径的长．21.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2=2py(p>0)交于A，B两点．(1)若点A的坐标为(2,2)，求F的坐标；(2)若|AF|+|BF|=4|OF|，求该双曲线的离心率．

322.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是x−2y=0，焦距为46．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点F(26,0)的直线l与双曲线C在y轴右侧相交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点D，试问|AB||FD|是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

4重庆市2022-2023学年（上）期末质量检测高二数学答案及评分标准1.B 2.C 3.A 4.C 5.A 6.D 【解析】解：对于A，∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D，∴AC⊥BE.故A正确．对于B，∵B1D1//平面ABCD，又E、F在直线D1B1上运动，∴EF//平面ABCD.故B正确．对于C，直线AB与平面BEF所成的角即为直线AB与平面BD1所成的角，故为定值．故C正确．对于D，当点E在D1处，F为D1B1的中点时，异面直线AE，BF所成的角是∠OEB，当E在上底面的中心时，F在C1的位置，异面直线AE，BF所成的角是∠OE1B显然两个角不相等，故D不正确．故选：D．7.C 【解析】解：∵双曲线方程为：x216−y24=1，∴a=4，b=2，c=23，又P是双曲线x216−y24=1右支上任意一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，∴|PF1|−|PF2|=2a=8，故选：C．8.C 【解析】解：∵曲线C可化为：(x−1)2+(y−1)2=1，(x≥1)，又直线l：y=kx−2过P(0,−2)，斜率为k，作出两图形，当l与半圆弧C相切时，圆心(1,1)到直线l的距离d=r，∴|k−3|k2+1=1，解得k=43，∴kPA=43，又B(1,0)，C(1,2)，∴kAB=−20−1=2，kPC=2−(−2)1−0=4，数形结合可得满足题意的k的范围为：(2,4]∪{43}.故选：C．9.AC 10.ABCD 11.BCD 【解析】解：由题意知，|MF1|=m，|MF2|=10−m，所以|MF1|+|MF2|=10>|F1F2|=8，所以点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，且2a=10，2c=8，即a=5，c=4，所以b=3，所以曲线C的方程为x225+y29=1，即选项A错误，选项B正确；过点F1，且垂直于x轴的直线为x=−4，它与曲线C相交于两点(−4,95)，(−4,−95)，所以弦长为2×95=185，即选项C正确；由曲线C的方程为x225+y29=1，知曲线C上的点可设为(5cosθ,3sinθ)，该点到直线x+y−6=0的距离d=|5cosθ+3sinθ−6|2=6−34sin(θ+φ)2≥6−342=32−17，即选项D正确．故选：BCD．

512.BC 【解析】解：依题意可设P(4,y0)，Q(4,−y0)，则OP=(4,y0),OQ=(4,−y0)，因为OP⊥OQ，所以OP⊥OQ，所以OP⋅OQ=16−y02=0，故y02=16，又y02=8p，所以p=2，故抛物线C的方程为y2=4x，A错误；不妨设A(x1,y1)在第一象限，B(x2,y2)在第四象限，由y2=4x可得y=±2x，y'=±1x，所以直线GA的斜率为kGA=1x1=2y1，则直线GA的方程为y−y1=2y1(x−x1)，整理可得2x−y1y+2x1=0；同理可求GB的方程为2x−y2y+2x2=0，因为点G在直线GA，GB上，所以2x0−y1y0+2x1=02x0−y2y0+2x2=0，又A(x1,y1)，B(x2,y2)的坐标都满足2x−y0y+2x0=0，故可得直线AB的方程为2x−y0y+2x0=0，B正确；由A的分析可知抛物线的准线方程为x=−1，故M(−1,0)，所以以M为圆心，|OM|为半径的圆的方程为(x+1)2+y2=1，由于G(x0,y0)为圆上动点(非原点)，故−2≤x0<0，C正确；联立方程组，整理得y2−2y0y+4x0=0，Δ=4(y02−4x0)=4(−x02−6x0)>0,−2≤x0<0，则y1+y2=2y0，y1y2=4x0，故|AB|=1+(y02)2⋅(y1+y2)2−4y1y2=(y02+4)(y02−4x0)，点G(x0,y0)到直线AB的距离d=|4x0−y02|4+y02，故△ABG的面积S=12|AB|d=12(y02+4)(y02−4x0)⋅|4x0−y02|4+y02=12(y02−4x0)32，由题可知，M(−1,0)，|OM|=1，则圆M的方程为(x+1)2+y2=1，故(x0+1)2+y02=1，因为−2≤x0<0，所以y02−4x0=−x02−6x0=−(x0+3)2+9∈(0,8]，所以12(y02−4x0)32∈(0,82],故△ABG面积的最大值为82，D错误；故选：BC．13.3x−4y+8=0 14.a 15.x2=−12y 16.23 17.解：(1)设C(x0,y0)，y0∈[−1,1]，则x024+y02=1，d=|CD|=x02+(y0−2)2=−3y02−4y0+8=−3(y0+23)2+283，当y0=−23时，dmax=283=2213，当y0=1时，dmin=1．(2)如图所示，过点P作PG⊥x轴于G，过点P作PH⊥y轴于H，设P(x1,y1)，(|PM||MA|)2+(|PN||NB|)2=(|GO||OA|)2+(|HO||OB|)2=x124+y12=1． 

618.解：(1)∵A(1,1)，B(2,−2)，∴kAB=1−(−2)1−2=−3，∴弦AB的垂直平分线的斜率为13，又弦AB的中点坐标为(32,−12)，∴弦AB的垂直平分线的方程为y+12=13(x−32)，即x−3y−3=0，与直线l：x−y+1=0联立，解得：x=−3，y=−2，∴圆心C坐标为(−3,−2)，∴圆的半径r=|AC|=5，则圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25；(2)由(1)知圆C的方程为(x+3)2+(y+2)2=25，∴|PC|=(2+3)2+(1+2)2=34，∴P(2,1)在圆C外，∴|PQ|的最大值为34+5，最小值为34−5． 19.解：(1)如图所示．以D1A1、D1C1、D1D所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,3)，E(1,12,0)，C(0,1,3)，C1(0,1,0)，B(1,1,3)，B1(1,1,0)，∴AE=(0,12,−3)，EC1=(−1,12,0)，CC1=(0,0,−3)，设平面AEC1的法向量为m=(x1,y1,z1)，则m⋅AE=12y1−3z1=0m⋅EC1=−x1+12y1=0，取m=(3,23,1)，设平面ECC1的法向量为n=(x2,y2,z2)，则n⋅CC1=−3z2=0n⋅EC1=−x2+12y2=0，取n=(1,2,0)，∴|cos|=|m⋅n||m||n|=534×5=154，又由图知所求角为锐角，∴二面角A−EC1−C的余弦值为154；(2)设EP=λEC=(−λ,λ2,3λ)，0≤λ≤1，又B1E=(0,−12,0)，∴B1P=B1E+EP=(−λ,λ−12,3λ)，令u=B1B|B1B|=(0,0,1)，设点P到直线B1B的距离为d，则d2=|B1P|2−(B1P⋅u)2=(−λ)2+(λ−12)2+(3λ)2−(3λ)2=54λ2−12λ+14，∴当λ=122×54=15时，d取最小值，∴|EP|=15|EC|=15×172=1710． 20.解：(1)圆锥的底面半径为1，高为3，则母线长l=3+1=2，因此将圆锥侧面展开得到一个半圆，因此圆锥的侧面积为：12×π×22=2π，圆锥的底面圆面积为：π×12=π，所以圆锥的表面积为：2π+π=3π．(2)在底面圆中，AB=∠AOB⋅r=2π3，侧面展开图中，如图，联结AC，即线段|AC|的长为最短路径，设圆心角∠APB为

7α，AB=α⋅l=2π3⇒α=π3，∵|PC|=12|PB|=1,|PA|=2,α=π3，∴|AC|=3，即A到C的最短路径长为3． 21.(1)解：将A(2,2)代入抛物线x2=2py(p>0)，即(2)2=2p×2，解得p=12，即抛物线的方程为x2=y，所以抛物线的焦点坐标为F(0,14)；(2)解：设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=y1+y2+p=y1+y2+12，又由4|OF|=4×14=1，所以y1+y2=12，联立方程组b2x2−a2y2=a2b2x2=y，可得a2y2−b2y+a2b2=0，可得y1+y2=b2a2，所以b2a2=12，可得c2−a2a2=c2a2−1=e2−1=12，解得e2=32，可得e=62，即双曲线的离心率为62． 22.解：(1)由题意得：ba=22，2c=46，a2+b2=c2，解得：c=26，a=4，b=22，∴双曲线C的标准方程为x216−y28=1．(2)由题意可知，直线AB的斜率一定存在，且不为0，设直线AB的方程为y=k(x−26)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程组y=k(x−26)x216−y28=1，消去y整理得(1−2k2)x2+86k2x−48k2−16=0，则Δ=384k4+(1−2k2)(192k2+64)>0x1+x2=−86k21−2k2>0x1x2=−48k2−161−2k2>0，整理得k2>12，∴x1+x22=−46k21−2k2，y1+y22=−26k1−2k2，∴线段AB的垂直平分线的方程为：y+26k1−2k2=−1k(x+46k21−2k2)，令y=0得：x=−66k21−2k2，即D(−66k21−2k2,0)，∴|FD|=|26+66k21−2k2|=|26(1+k2)1−2k2||AB|=1+k2⋅(x1+x2)2−4x1x2=1+k2⋅(−86k21−2k2)2−4⋅−48k2−161−2k2=1+k2⋅384k4(1−2k2)2+(192k2+64)(1−2k2)(1−2k2)2=|8(1+k2)1−2k2|．∴|AB||FD|=826=263，∴|AB||FD|是定值，且该定值为263．