安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理科）Word版含解析

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2020-2021学年安徽省宿州市泗县一中高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知命题p：“∀a∈（0，+∞），关于x的方程有实根”，则￢p为（　　）A．∃a0∈（﹣∞，0]，关于x的方程有实根B．∀a∈（0，+∞），关于x的方程有实根C．∃a0∈（0，+∞），关于x的方程没有实根D．∀a∈（﹣∞，0]，关于x的方程没有实根2．已知i为虚数单位，若，则＝（　　）A．1B．2C．D．3．已知集合A＝{x|x2＞2x}，B＝{x|a＜x＜a+1}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是（　　）A．[0，1]B．[﹣1，0]C．（0，1）D．（﹣1，1）4．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）A．B．C．y＝±4xD．5．若，且tanα＝3．则sin（π+α）＝（　　）A．B．C．D．6．已知函数f（x）＝2x2﹣2ax+1，满足f（3+x）＝f（3﹣x），则＝（　　）A．B．9C．18D．727．已知向量，均为单位向量，且，则＝（　　）A．B．C．D．8．若，且不等式的解集中有且仅有5个整数，则a的取值范围是（　　）A．（5，6]B．[5，6）C．[4，5）D．（4，5]9．已知菱形ABCD中，AB＝BD＝2，把△ABD沿BD折起，使点A到达点P处，且PC＝3，则三棱锥P﹣BCD的体积为（　　）

1A．B．C．D．10．已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（x）（　　）A．是奇函数B．图象关于直线对称C．在上是增函数D．图形关于直线对称11．我们把函数D（x）＝称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：①D（|x|）＝D（x）；②D（x+1）＝D（x）；③D（D（x））＝D（x）；④{y|y＝D（x）}＝{0，1}．其中正确命题的个数为（　　）A．1B．2C．3D．412．已知椭圆C：的一个焦点为F（1，0），一个顶点为A（2，0），设B（t，0），点P是椭圆C上的动点，若|PB|≥|AB|恒成立，则t的取值范围是（　　）A．B．C．[﹣2，2]D．（2，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，请把答案写在答题卡上。13．的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为　　．14．已知△ABC的三边a，b，c满足a+c＝2b，且△ABC的面积为，则的值为　　．15．4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是　　.（用数字作答）16．设正实数x，y满足x+y＝1，则的取值范围是　　．三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinAcosB＝2sinC+sinB．

2（1）求角A；（2）若a＝4，，求△ABC的面积．18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，满足a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝an•bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn．19．如图，在五面体ABCDEF中，面ADEF为矩形，且与面ABCD垂直，∠BCD＝90°，AD＝CD＝BC＝1，DE＝．（1）证明：AD∥BC；（2）求平面ACE与平面BCEF所成的锐二面角的余弦值．20．从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率[2.5，7.5）20.002[7.5，12.5）m0.054[12.5，17.5）1060.106[17.5，22.5）1490.149[22.5，27.5）352n[27.5，32.5）1900.190[32.5，37.5）1000.100[37.5，42.5）470.047合计10001.000（1）求m，n，a的值；

3（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，其中已计算得σ2＝52.6．如果产品的质量指标值位于区间（10.50，39.50），企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间（10.50，39.50）之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记X为抽取的20件产品所获得的总利润，求EX．附：，P（μ﹣σ＜x＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）＝0.9544．21．已知函数，a∈R，e＝2.71828…是自然对数的底数．（1）当a＝0时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≤2时，f（x）≥0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选够4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数）．在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若射线，与直线l及曲线C分别交于点A，B，且|OA||OB|＝2．求tanα．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝x2+|4x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥3|x|+1的解集；（2）若对任意实数x恒成立，求证：|a|+|b|≤2|ab|．

4参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．已知命题p：“∀a∈（0，+∞），关于x的方程有实根”，则￢p为（　　）A．∃a0∈（﹣∞，0]，关于x的方程有实根B．∀a∈（0，+∞），关于x的方程有实根C．∃a0∈（0，+∞），关于x的方程没有实根D．∀a∈（﹣∞，0]，关于x的方程没有实根解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论可知，命题p：“∀a∈（0，+∞），关于x的方程有实根”，则￢p为：∃a0∈（0，+∞），关于x的方程没有实根．故选：C．2．已知i为虚数单位，若，则＝（　　）A．1B．2C．D．解：设z＝a+bi，（a，b∈R），∵，∴，即，∴，解得a＝b＝1，∴．故选：B．3．已知集合A＝{x|x2＞2x}，B＝{x|a＜x＜a+1}，若A∩B＝∅，则a的取值范围是（　　）A．[0，1]B．[﹣1，0]C．（0，1）D．（﹣1，1）

5解：∵A＝{x|x＜0或x＞2}，B＝{x|a＜x＜a+1}，且A∩B＝∅，∴，解得0≤a≤1，∴a的取值范围是[0，1]．故选：A．4．若双曲线的中心为坐标原点，焦点在y轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（　　）A．B．C．y＝±4xD．解：因为e＝2，所以＝，而焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程为：y＝±x，所以该双曲线的渐近线方程为：y＝±x．故选：B．5．若，且tanα＝3．则sin（π+α）＝（　　）A．B．C．D．解：因为，且tanα＝＝3＞0，所以α∈（π，），sinα＜0，cosα＜0，因为sin2α+cos2α＝sin2α+（）2＝1，所以sinα＝﹣，则sin（π+α）＝﹣sinα＝．故选：A．6．已知函数f（x）＝2x2﹣2ax+1，满足f（3+x）＝f（3﹣x），则＝（　　）A．B．9C．18D．72解：∵f（3+x）＝f（3﹣x），∴函数f（x）的对称轴为x＝3，∴x＝＝3，∴2α＝12，∴＝4α•＝144×＝72．故选：D．7．已知向量，均为单位向量，且，则＝（　　）

6A．B．C．D．解：∵，∴＝2，∴+4+4•＝2，∵向量，均为单位向量，∴1+4+4•＝2，∴•＝﹣，∴＝|﹣|＝＝＝．故选：C．8．若，且不等式的解集中有且仅有5个整数，则a的取值范围是（　　）A．（5，6]B．[5，6）C．[4，5）D．（4，5]解：由题意可得，，即loga1，解得a＞1，不等式变形为，因为a＞1，所以，则，所以，因为不等式的解集中有且仅有5个整数，则必然是1，2，3，4，5，所以5＜a≤6．故选：A．9．已知菱形ABCD中，AB＝BD＝2，把△ABD沿BD折起，使点A到达点P处，且PC＝3，则三棱锥P﹣BCD的体积为（　　）A．B．C．D．解：如图，连接AC、BD，设AC∩BD＝E，

7∵四边形ABCD为菱形，∴BD⊥CE，BD⊥PE，又PE∩CE＝E，∴BD⊥平面PEC，可得平面PEC⊥平面ABCD，又∵AB＝BD＝2，∴△ABD、△BCD是边长为2的等边三角形，可得AE＝CE＝，则PE＝CE＝，在△PEC中，PE＝CE＝，PC＝3，由余弦定理可得，cos∠PEC＝，即∠PEC＝120°，∴∠PEA＝60°．在平面PEC中，过P作PO⊥AC，则PO⊥平面ABCD，即PO为三棱锥P﹣BCD的高，在Rt△POE中，由PE＝，∠PEO＝60°，可得PO＝•sin60°＝．则三棱锥P﹣BCD的体积为V＝＝．故选：A．10．已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）的图象，则g（x）（　　）A．是奇函数B．图象关于直线对称C．在上是增函数D．图形关于直线对称解：函数的图象向左平移个单位后，得到函数g（x）＝sin（2x++）＝cos2x的图象，则g（x）是偶函数，故A错误；令x＝，求得g（x）＝0，故g（x）的图象关于点（，0）对称，故B错误；在上，2x∈（0，），函数g（x）单调递减，故C错误；令x＝，求得g（x）＝﹣1，为最小值，故g（x）的图象关于直线对称，故D正确，故选：D．11．我们把函数D（x）＝称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：①D（|x|）＝D（x）；②D（x+1）＝D（x）；③D（D（x））＝D（x）；

8④{y|y＝D（x）}＝{0，1}．其中正确命题的个数为（　　）A．1B．2C．3D．4解：对①：若x为有理数，则|x|也为有理数，则D（x）＝D（|x|），同理x为无理数也成立，故①正确；对②：若x为有理数，则x+1也为有理数，则D（x+1）＝D（x），同理x为无理数也成立，故②正确；对③：若x为有理数，则D（D（x））＝D（1）＝1＝D（x），若x为无理数，D（D（x））＝D（0）＝1≠0＝D（x），故③错误；对④：根据定义，D（x）＝1或者0，故{y|y＝D（x）}＝{0，1}成立，故④正确．故选：C．12．已知椭圆C：的一个焦点为F（1，0），一个顶点为A（2，0），设B（t，0），点P是椭圆C上的动点，若|PB|≥|AB|恒成立，则t的取值范围是（　　）A．B．C．[﹣2，2]D．（2，+∞）解：由已知可得c＝1，a＝2，则b²＝a²﹣c²＝3，所以+＝1，设P（x0，y0），则+＝1，所以＝3﹣（﹣2≤x0≤2），若|PB|≥|AB|恒成立，则|PB|²≥|AB|²恒成立，所以（x0﹣t）²+≥（2﹣t）²，整理可得t（x0﹣2）≤，当x0＝2时，不等式恒成立，当﹣2≤x0＜2，不等式可化为t≥恒成立，因为（）max＝，所以t≥，综上，t的取值范围是[，+∞）．故选：B．

9二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，请把答案写在答题卡上。13．的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为　﹣5　．解：∵的展开式的通项公式为Tr+1＝•（﹣1）r•x5﹣4r，要使幂指数绝对值最小，即5﹣4r最小，故r＝1，故幂指数绝对值最小的项的系数为×（﹣1）＝﹣5，故答案为：﹣5．14．已知△ABC的三边a，b，c满足a+c＝2b，且△ABC的面积为，则的值为　1或　．解：因为S△ABC＝absinC＝ab，所以sinC＝，因为C∈（0，π），所以C＝或，因为a+c＝2b，由正弦定理可得sinA+sinC＝2sinB，即2sin（A+C）＝sinA+sinC，当C＝时，2sin（A+）＝sinA+sin解得cosA＝，所以sinA＝，此时＝＝＝1；当C＝时，2sin（A+）＝sinA+sin，解得cosA＝（cosA＝﹣舍去），所以sinA＝，此时＝＝＝，故答案为：1或．15．4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是　81　.（用数字作答）解：根据题意，4名同学参加3个课外知识讲座，每个同学有3种选法，则4名同学有3×3×3×3＝81种选法，故答案为：81．16．设正实数x，y满足x+y＝1，则的取值范围是　　．解：∵正实数x，y满足x+y＝1，

10∴1，∴，当且仅当x＝y＝时取等号．则x2+y2+＝1﹣2xy+，∵﹣2xy+＝∈．故x2+y2+的取值范围为．故答案为：三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinAcosB＝2sinC+sinB．（1）求角A；（2）若a＝4，，求△ABC的面积．解：（1）因为2sinAcosB＝2sinC+sinB＝2（sinAcosB+cosAsinB）+sinB，所以可得2cosAsinB+sinB＝0，因为sinB≠0，所以cosA＝﹣，因为A∈（0，π），所以A＝．（2）因为A＝，a＝4，，所以由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可得16＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc＝20﹣bc，解得bc＝4，所以S△ABC＝bcsinA＝＝．18．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，满足a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项．（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝an•bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn．解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b2＝2，S5＝30，b4+2是b3与b5的等差中项，可得b1q＝2，5×2+10d＝30，2（b4+2）＝b3+b5，

11即2（b1q3+2）＝b1q2+b1q4，解得d＝2，b1＝1，q＝2，则an＝2+2（n﹣1）＝2n；bn＝2n﹣1；（2）因为cn＝an•bn＝n•2n；所以数列{cn}的前n项和Tn＝1×21+2×22+3×23+......+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，2Tn＝1×22+2×23+......+（n﹣2）•2n+（n﹣1）•2n+n•2n+1，两式相减可得﹣Tn＝2+22+23+......+2n﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴Tn＝（n﹣1）•2n+1+2．19．如图，在五面体ABCDEF中，面ADEF为矩形，且与面ABCD垂直，∠BCD＝90°，AD＝CD＝BC＝1，DE＝．（1）证明：AD∥BC；（2）求平面ACE与平面BCEF所成的锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：因为面ADEF为矩形，则AD∥EF，又AD⊄平面EFBC，EF⊂平面EFBC，所以AD∥平面EFBC，又AD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面EFBC＝BC，所以AD∥BC；（2）解：由题意，平面EFAD⊥平面ABCD，平面EFCD∩平面ABCD＝CD，又ED⊥AD，ED⊂平面EFAD，所以ED⊥ABCD，由（1）可知，AD∥BC，又∠BCD＝90°，则CD⊥AD，故ED，AD，CD两两互相垂直，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则，，

12所以，，设平面ACE的法向量为，则，即，令z＝1，则，故，设平面BCEF的法向量为，则，则，令c＝1，则，故，所以＝，故平面ACE与平面BCEF所成的锐二面角的余弦值为．20．从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．分组频数频率[2.5，7.5）20.002[7.5，12.5）m0.054[12.5，17.5）1060.106

13[17.5，22.5）1490.149[22.5，27.5）352n[27.5，32.5）1900.190[32.5，37.5）1000.100[37.5，42.5）470.047合计10001.000（1）求m，n，a的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2，其中已计算得σ2＝52.6．如果产品的质量指标值位于区间（10.50，39.50），企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间（10.50，39.50）之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记X为抽取的20件产品所获得的总利润，求EX．附：，P（μ﹣σ＜x＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜x＜μ+2σ）＝0.9544．解：（1）结合频率分布表可以得到：，解得m＝54，n＝0.352，＝0.038．（2）这1000件产品质量指标值的样本平均数为：＝5×0.002+10×0.054+15×0.106+20×0.149+25×0.352+30×0.190+35×0.1+40×0.047＝25．（3）∵≈7.25，由（2）知Z～N（25，52.6），

14∴P（10.50＜Z＜39.50）＝P（25﹣2×7.25＜Z＜25+2×7.25）＝0.9544，设Y为随机抽取20件产品质量指标值位于（10.50，39.50）之外的件数，依题意知Y～B（20，0.0456），∴E（Y）＝20×0.0456＝0.912，∴E（X）＝﹣100×E（Y）+10×20×0.9544＝99.68．21．已知函数，a∈R，e＝2.71828…是自然对数的底数．（1）当a＝0时，讨论f（x）的单调性；（2）当x≤2时，f（x）≥0，求a的取值范围．解：（1）当a＝0时，，f′（x）＝+ex（2﹣x）＝ex（﹣x2+x+2），令f′（x）＞0，得1﹣＜x＜1+，令f′（x）＜0，得x＜1﹣或x＞1+，∴f（x）在（1﹣，1+）上单调递增，在（﹣∞，1﹣）和（1+，+∞）上单调递减．（2）当x≤2时，f（x）≥0，得，记，则，①当a≤0时，则g′（x）≥0，可知g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，且，不符合题意；②当0＜a＜e2时，令g′（x）＝0，解得x1＝2，x2＝lna，由于lna＜2，故当x＜lna时，g′（x）＜0，当lna＜x＜2时，g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，2）上单调递增，∴，解得，由于，故；③当a≥e2时，则lna≥2，此时当x＜2时，g′（x）≤0，故g（x）在（﹣∞，2]上单调递减，∴，解得a≤2e2，故e2≤a≤2e2；综上，实数a的取值范围为．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选够4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程（t为参数）．在以坐标原点为极点，x

15轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（1）求直线l的极坐标方程；（2）若射线，与直线l及曲线C分别交于点A，B，且|OA||OB|＝2．求tanα．解：（1）直线l的参数方程，消去参数t得．由ρcosθ＝x，ρsinθ＝y，得直线l的极坐标方程为，即：．（2）因为射线与直线l及曲线C分别交于点A，B，所以，|OB|＝2cosα，因为|OA||OB|＝2，所以，即，所以，整理得：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝x2+|4x﹣1|．（1）求不等式f（x）≥3|x|+1的解集；（2）若对任意实数x恒成立，求证：|a|+|b|≤2|ab|．解：（1）f（x）≥3|x|+1⇔x2+|4x﹣1|≥3|x|+1，①当x≤0时，则x2+1﹣4x≥﹣3x+1，即x2﹣x≥0，∴x≥1或x≤0，∴x≤0，②当0＜x＜时，则x2+1﹣4x≥3x+1，即x2﹣7x≥0，∴x≥7或x≤0，∴无解，③当x≥时，则x2+4x﹣1≥3x+1，即x2+x﹣2≥0，∴x≥1或x≤﹣2，∴x≥1，所以不等式f（x）≥3|x|+1的解集为（﹣∞，0]∪[1，+∞）．证明：（2）当时，当时．所以，当且仅当时取等号．

16所以，即，所以，所以，即|a|+|b|≤2|ab|．