安徽省泗县第一中学2020-2021学年高二下学期期末调研考试数学（理）Word版含解析

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泗县第一中学2020-2021学年高二下学期期末调研试卷理科数学试卷一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.1.已知命题，关于的方程有实根”，则为（）A.，关于的方程有实根B.，关于的方程有实根C.，关于的方程没有实根D.，关于的方程没有实根2.已知为虚数单位，若，则（）A.B.C.D.3.已知集合，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.4.若双曲线的中心为坐标原点，焦点在轴上，其离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.5.若，且，则（）A.B.C.D.

16.已知函数，满足，则（）A.B.C.D.7.已知向量，均为单位向量，且，则（）A.B.C.D.8.若，且不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（）A.B.C.D.9.已知菱形中,，把沿折起，使点到达点处，且，则三棱锥体积为（）A.B.C.D.10.已知函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，则（）A.是奇函数B.图象关于直线对称C.在上是增函数D.图象关于直线对称11.我们把函数称为狄利克雷函数，关于狄利克雷函数给出下列结论：①；②D（x+1）=D（x）；③，④，其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.4

212.已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，设，点是椭圆上的动点，若恒成立，则的取值范围是（）A.B.C.D.二､填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，请把答案写在答题卡上.13.的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为___________.14.已知的三边，，满足，且的面积为，则的值为___________.15.4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是___________(用数学字作答)16.设正实数，则的取值范围为______．三､解答题：共70分，解答题写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知的内角，，的对边分别为，，，.（1）求角；（2）若，，求面积.18.已知等差数列的前项和为；数列为等比数列，满足，，是与的等差中项.（1）求数列，的通项公式；（2）若，是数列的前项和，求.

319.如图，在五面体中，面为矩形，且与面垂直，，，.（1）证明：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图.分组频数频率20.0020.0541060.1061490.1493521900.1901000.100470.047

4合计10001.000（1）求，，的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得.如果产品的质量指标值位于区间，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求.附：，，.21.已知函数，，是自然对数底数.（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，，求的取值范围.22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程(为参数).在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的极坐标方程；

5（2）若射线(，)与直线及曲线分别交于点，，且，求.23.已知.（1）求不等式的解集；（2）若对任意实数恒成立，求证：.

6答案解析部分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个正确选项.1.已知命题p：“∀a∈(0,+∞)，关于x的方程x2+xa−1=0有实根”，则¬p为（   ）A. ∃a0∈(−∞,0]，关于x的方程x2+xa0−1=0有实根B. ∀a∈(0,+∞)，关于x的方程x2+xa−1=0有实根C. ∃a0∈(0,+∞)，关于x的方程x2+xa0−1=0没有实根D. ∀a∈(−∞,0]，关于x的方程x2+xa−1=0没有实根【答案】C【考点】全称量词命题，存在量词命题【解析】【解答】解：根据全称量词命题与存在量词命题的关系易得¬p 为∃a0∈(0,+∞)，关于x的方程x2+xa0−1=0没有实根.故答案为：C【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的关系求解即可.2.已知i为虚数单位，若z(1−i)=22|z|，则z⋅z=（   ）A. 1                                         B. 2                                         C. 2                                         D. 22【答案】B【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：设z=x+yi,则z=x2+y2则由z(1−i)=22|z| 得x+yi1−i=22x2+y2即x+y+y−xi=22x2+y2则x+y=22x2+y2y−x=0解得x=y=1或x=y=-1则z·z=x2+y2=2故答案为：B【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即可.3.已知集合A={x|x2>2x}，B={x|a

7【考点】空集的定义、性质及运算，交集及其运算，一元二次不等式的解法【解析】【解答】解：由x2>2x得x<0或x>2，则集合A={x|x<0或x>2},又B={x|a

8【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，有理数指数幂的运算性质【解析】【解答】解：∵函数f(x)满足f(3+x)=f(3−x) ，∴函数f(x)的对称轴为x=3+x+3−x2=3∴x=−−2a2×2=2a4=3∴2a=12∴4a−12=2a22=1222=72故答案为：D【分析】根据二次函数的图象与性质，结合指数运算求解即可.7.已知向量AB，AC均为单位向量，且AB+2AC=(1,1).则|BC|=（   ）A. 2                                      B. 3                                      C. 142                                      D. 72【答案】C【考点】向量的模，向量的线性运算性质及几何意义【解析】【解答】解：由题意得AB→+2AC→2=5+4AB→·AC→=2则AB→·AC→=−34则BC→=AC→−AB→=AC→−AB→2=2−2AB→·AC→=2+32=142故答案为：C【分析】根据向量的线性运算，以及向量的求模公式直接求解即可.8.若loga3>0，且不等式x−a+1ax+1<0的解集中有且仅有5个整数，则a的取值范围是（   ）A. (5,6]                                    B. [5,6)                                    C. [4,5)                                    D. (4,5]【答案】A【考点】对数函数的图象与性质，不等关系与不等式，一元二次不等式的解法【解析】【解答】解：由loga3>0得a>1由 x−a+1ax+1<0 得x−1ax−a<0∵a>1∴1a

99.已知菱形ABCD中AB=BD=2，把△ABD沿BD折起，使点A到达点P处，且PC=3，则三棱锥P−BCD的体积为（   ）A. 32                                       B. 22                                       C. 3                                       D. 2【答案】A【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定【解析】【解答】解：如图所示，取BD的中点E，则PE=CE=3∵PE⊥BD,CE⊥BD，PE∩CE=E∴BD⊥平面PCE取PC的中点F，则EF⊥PC∵PC=3∴EF=PE2−PF2=32则VP−BCD=13×S△PCE×BD=13×2×12×3×32=32故答案为：A【分析】根据直线与平面垂直的判定定理求得三棱锥的高，再结合棱锥的体积公式直接求解即可.10.已知函数f(x)=sin(2x+π6)的图象向左平移π6个单位后，得到函数g(x)的图象，则g(x)（   ）A. 是奇函数                                                            B. 图象关于直线x=π4对称C. 在(0,π4)上是增函数                                          D. 图形关于直线x=−3π2对称【答案】D【考点】函数的图象与图象变化，余弦函数的图象【解析】【解答】解：由题意得g(x)=sin2x+π6+π6=cos2x对于A，g(-x)=cos(-2x)=cos2x=g(x)，则g(x)为偶函数，故A错误；对于B，gπ4=cosπ2=0，故B错误；对于C，当0

10【答案】C【考点】分段函数的应用【解析】【解答】解：当x为有理数时，|x|,x+1均为有理数,D(|x|)=D(x)=1,D(x+1)=D(x)=1；当x为无理数时,|x|,x+1均为无理数,D(|x|)=D(x)=0,D(x+1)=D(x)=0,所以①②正确；当x为无理数时,D(x)=0,D(D(x))=D(0)=1,③错误,④正确.故答案为：C.【分析】根据狄利克雷函数的性质直接求解即可.12.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0)，一个顶点为A(2,0)，设B(t,0)，点P是椭圆C上的动点，若|PB|≥|AB|恒成立，则t的取值范围是（   ）A. [0,12]                              B. [12,+∞)                              C. [−2,2]                              D. (2,+∞)【答案】B【考点】二次函数在闭区间上的最值，椭圆的标准方程，椭圆的简单性质【解析】【解答】解：设点P(x0,y0)，则x024+y023=1，则y02=31−x024∵|PB|≥|PA|∴|PB|2≥|PA|2∴(x0-t)2+y02≥(t-2)2∴x02−2tx0+t2+31−x024≥t2+4t+4即x024−2tx0+4t≥1∴2t2−x0≥2−x02+x04又∵-2≤x0≤2∴2-x0≥0∴2t≥2+x04恒成立∴2t≥2+x04max=1即2t≥1则t≥12故答案为：B【分析】根据椭圆的方程以及几何性质，结合二次函数的最值求解即可.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，请把答案写在答题卡上。13.(x−1x3)5的展开式中幂指数绝对值最小的项的系数为________.【答案】-5【考点】二项式定理的应用

11【解析】【解答】解：(x−1x3)5 的展开式通项公式为Tr+1=C5rx5−r−1x3r=−1rC5rx5−4r则当r=1是，幂指数绝对值最小，该项的系数为−1C51=−5故答案为：-5【分析】根据二项式定理直接求解即可.14.已知△ABC的三边a、b、c满足a+c=2b，且△ABC的面积为34ab，则ca的值为________.【答案】1或73【考点】余弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析】【解答】解：由s=12absinC=34ab得sinC=32，则C=π3或C=2π3①当C=π3时，则c2=a2+b2-ab=a2+a+c22−aa+c2，整理得a=c，则ca=1；②当C=2π3时，则c2=a2+b2+ab=a2+a+c22+aa+c2，整理得(c+a)(3c-7a)=0，则ca=73；故答案为：1或 73【分析】根据三角形的面积公式，结合余弦定理求解即可.15. 4名同学参加3个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是________（用数学字作答）【答案】81（或34）【考点】分步乘法计数原理【解析】【解答】解：根据分步乘法计数原理得不同的选法为3×3×3×3=34=81故答案为：81（或34）【分析】根据分步乘法计数原理直接求解即可16.设正实数x，y满足x+y=1，则x2+y2+xy的取值范围________.【答案】[1,98]【考点】二次函数在闭区间上的最值，基本不等式在最值问题中的应用【解析】【解答】解：∵1=x+y≥2xy∴0

12【分析】根据基本不等式，结合二次函数的最值求解即可.三、解答题：共70分，解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2sinAcosB=2sinC+sinB.（1）求角A；（2）若a=4，b+c=25，求△ABC的面积.【答案】（1）由2sinAcosB=2sinC+sinB应用正弦定理，得2acosB=2c+b，由余弦定理，可得c=acosB+bcosA，代入上式，得2bcosA+b=0．∵b>0，∴cosA=−12，又A∈(0,π)，所以，A=2π3．（2）a=4，b+c=25，由余弦定理，得a2=b2+c2−2bccosA，=b2+c2+bc=(b+c)2−bc即16=20−bc，则bc=4．于是S△ABC=12bcsinA=12×4×32=3．【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用，三角形中的几何计算【解析】【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理求解即可；（2）根据余弦定理，结合三角形的面积公式直接求解即可.18.已知等差数列{an}的前n项和为Sn；数列{bn}为等比数列，满足a1−b2=2，S5=30，b4+2是b3与b5的等差中项.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn=an⋅bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn.【答案】（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1=b2=2，S5=30，b4+2是b3与b5的等差中项，5×2+10d=30d=2则an=2+2(n−1)=2n；b1q=2，2(b4+2)=b3+b5，即2(b1q3+2)=b1q2+b1q4，b1=1，q=2，bn=2n−1；

13（2）bn=an⋅bn=n⋅2n，所以Tn=1⋅2+2⋅22+3⋅23+...+n⋅2n，2Tn=1⋅22+2⋅23+3⋅24+...+n⋅2n+1，两式相减可得−Tn=2+22+23+⋅⋅⋅+2n−n⋅2n+1，=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1，化简得，Tn=2+(n−1)⋅2n+1．【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，等比数列的通项公式，数列的求和，等差数列的性质【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式与前n项和公式，以及等比数列的通项公式，结合等差中项求解即可；（2）利用错位相减法求解即可.19.如图，在五面体ABCDEF中，面ADEF为矩形，且与面ABCD垂直，∠BCD=90°，AD=CD=12BC=1，DE=2.（1）证明：AD//BC；（2）求平面ACE与平面BCEF所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明：∵面ADEF为矩形，AD//EF，且AD⊄平面BCEF，EF⊂平面BCEF，∴AD//平面BCEF，又AD⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面BCEF=BC，∴AD//BC．（2）∵面ADEF为矩形面，DE⊥AD，又面ADEF⊥面ABCD，且面ADEF∩面ABCD=AD，∴DE⊥面ABCD，由（1）知，AD//BC，又∠BCD=90°，

14∴AD⊥CD，∴DA，DE，DC两两垂直，以DA，DE，DC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立图示空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E(0,0,2)，B(2,1,0)，F(1,0,2)．AC=(−1,1,0)，AE=(−1,0,2)，BC=(−2,0,0)，BF=(−1,−1,2)，设平面ACE与平面BCEF的法向量分别为n1=(x1,y1,z1)，n2=(x2,y2,z2)，则{AC⋅n1=0,AE⋅n1=0,{BC⋅n2=0,BF⋅n2=0,∴{−x1+y1=0，−x1+2z1=0，{−2x2=0，−x2−y2+2z2=0，令z1=1，解得n1=(2,2,1)，令z2=1，解得n2=(0,2,1)，于是|cos〈n1，n2〉|=|n1⋅n2||n1|⋅|n2|=2+15×3=155，所以平面BCEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值为155．【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面平行的性质，用空间向量求直线间的夹角、距离【解析】【分析】（1）根据直线与平面平行的判定定理与性质定理即可求证；（2）利用向量法直接求解即可.20.从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图.分组频数频率[2.5,7.5)20.002[7.5,12.5)m0.054[12.5,17.5)1060.106[17.5,22.5)1490.149[22.5,27.5)352n[27.5,32.5)1900.190[32.5,37.5)1000.100[37.5,42.5)470.047合计10001.000

15（1）求m，n，a的值；（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2，其中已计算得σ2=52.6.如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50)，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间(10.50,39.50)之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记X为抽取的20件产品所获得的总利润，求EX.附：52.6≈7.25，P(μ−σ0，得1−51+5或x<1−5，

16所以f(x)在(−∞,1−5)上单调递减，在(1−5,1+5)上单调递增，在(1+5,+∞)上单调递减．（2）由当x≤2时，f(x)≥0，得2x−12x2−a(x−1)ex≥0，记g(x)=2x−12x2−a(x−1)ex，则g'(x)=(2−x)ex−aex，①当a≤0时，则g'(x)≥0，可知g(x)在(−∞,2)上单调递增，且g(−1)=−52+2ae<0，不满足当x≤2时，f(x)≥0，舍去；②当00，故g(x)在(−∞,lna)上单调递减，在(lna,2)上单调递增，所以g(x)min=g(lna)=−12(lna)2+lna+1≥0，解得e1−3≤a≤e1+3，因为e1+3>e2，所以e1−3≤a0)，与直线l及曲线C分别交于点A，B，且|OA||OB|=2.求tanα.【答案】（1）直线l的参数方程{x=1+3ty=3−t，消去参数t得x+3y−4=0.由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得直线l的极坐标方程为ρ(cosθ+3sinθ)=4，即ρcos(θ−π3)=2（2）因为射线θ=α(0<α<π2,ρ>0)与直线l及曲线C分别交于点A，B，所以|OA|=2cos(α−π3)，|OB|=2cosα，因为|OA||OB|=2，所以cos(α−π3)=2cosα，即12cosα+32sinα=2cosα，

17所以32sinα=32cosα，tanα=3.【考点】两角和与差的余弦公式，点的极坐标和直角坐标的互化，参数方程化成普通方程，同角三角函数基本关系的运用【解析】【分析】（1）利用消元法把直线l的参数方程化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式，把直线l的直角坐标方程化为极坐标方程即可；（2）分别联立射线与直线l以及曲线C的极坐标方程组，求得|OA|，|OB|，结合两角差的余弦公式以及同角三角函数的基本关系求解即可. 23.已知f(x)=x2+|4x−1|.（1）求不等式f(x)≥3|x|+1的解集；（2）若f(x)≥1a2+1b2−3116对任意实数x恒成立，求证：|a|+|b|≤2|ab|.【答案】（1）{x2−x≥0,x<0x2−7x≥0,0≤x<14x2+x−2≥0,x≥14⇒x∈(−∞,0]∪[1,+∞)所以不等式f(x)≥3|x|+1的解集为(−∞,0]∪[1,+∞)（2）当x≥14时f(x)=x2+4x−1≥(14)2+4×14−14=116，当x<14时f(x)=x2−4x+1>(14)2+4×14−1=116.所以f(x)≥116，当且仅当x=14时取等号。所以116≥1a2+1b2−3116，即1a2+1b2≤2，所以(1|a|+1|b|)2≤2(1a2+1b2)≤4，所以1|a|+1|b|≤2，即|a|+|b|≤2|ab|.【考点】二次函数在闭区间上的最值，一元二次不等式的解法，基本不等式在最值问题中的应用，分段函数的应用【解析】【分析】（1）根据分段函数的性质，结合一元二次不等式的解法求解即可；（2）根据化归思想，将不等式恒成立问题等价转化为求函数f(x)的最值问题，运用分类讨论思想，根据二次函数f(x)的最值，结合基本不等式的性质即可求解.