高等代数CAI课件张禾瑞郝炳新编（第四版）

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高等代数CAI课件张禾瑞郝炳新编(第四版)第一章基本概念第二章多项式第三章行列式第四章线性方程组第五章矩阵第六章向量空间第七章线性变换第八章欧氏空间第九章二次型广东教育学院数学系代数与几何教研室

1何谓高等代数大家知道，初等代数是研究数及代表数的文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法，也就是研究多项式（实系数与复系数）的代数运算的理论和方法.而多项式方程及多项式方程组的解（包括解的公式和数值解）的求法及其分布的研究恰为初等代数研究的中心问题，以这个中心问题为基础发展起来的一般数域上的多项式理论与线性代数理论就是所谓的高等代数.

2本课程的意义、内容及学习要求高等代数是大学数学中的一门重要基础课程，从内容上看，它是中学代数里有关内容的继续和提高。其中许多理论对于加深中学数学教材的理解有着直接的指导意义，因此作为一个合格的中学数学教师，学好这门课程是非常必要的。此外，高等代数的思想和方法已经渗透到数学的各个领域，在数学分析、几何、计算技术等学科有广泛的应用，所以，学好这门课程也有助于学好其它数学课程，并且高代是考研的一门必考课程。

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4第一章基本概念第一节集合第二节映射第三节数学归纳法第四节整数的一些整除性质第五节数环和数域

5第一节集合及映射章节名称：集合及映射教学目的与要求：了解集合的概念和表示，运算；理解并掌握映射的定义，合成，单射满射等的定义，掌握双射的等价刻画重点：证明映射是单射、满射的方法

6一、集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母A、B、C等表示集合；当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作:；当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：1、概念组成集合的这些事物称为集合的元素．用小写字母a、b、c等表示集合的元素．☆

7关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.Remark:

8☆集合的表示方法：描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.例1例2N＝，2Z＝例3M＝｛x|x具有性质P｝M＝｛a1，a2，…，an｝

92、集合间的关系☆如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作　　　，（读作B包含于A）当且仅当☆空集：不含任何元素的集合，记为φ．注意：｛φ｝≠φ,空集是任意集合的子集☆如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与B相等，记作A＝B.A＝B当且仅当且

103、集合间的运算交：　；并：显然有，1、证明等式:．证：显然，．又，∴，从而,．例题：故等式成立．

112、已知，证明：又因，∴．又因，∴．证：1）此即，因此无论哪一种情况，都有.此即，但是

12二、映射设M、M´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a，都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应,则称σ为称a´为a在映射σ下的象，而a´称为a在映射σ下的M到M´的一个映射，记作:或原象，记作σ(a)＝a´或1、定义

13①设映射,集合称之为M在映射σ下的象，通常记作Imσ．②集合M到M自身的映射称为M的一个变换．显然，注

14例4判断下列M到M´对应法则是否为映射1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4（不是）（是）（不是）2）M＝Z，M´＝Z＋，σ：σ(n)＝|n|,τ：τ(n)＝|n|＋1,（不是）（是）

15σ：σ(a)＝a0，4）M＝P，M´＝，（P为数域）τ：τ(a)＝aE，（E为n级单位矩阵）5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个固定元素.（是）（是）6）M＝M´＝P[x]（P为数域）σ：σ(f(x))＝f´(x)，（是）3）M＝，M´＝P，（P为数域）σ：σ(A)＝|A|，（是）

16例5M是一个集合，定义I：I(a)＝a，即I把M上的元素映到它自身，I是一个映射，例6任意一个在实数集R上的函数y＝f(x)都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是称I为M上的恒等映射或单位映射．映射的一个特殊情形．

172、映射的乘积设映射，乘积定义为：(a)＝τ(σ(a))即相继施行σ和τ的结果，是M到M"的一个映射．①对于任意映射，有②设映射，有注：

183、映射的性质:设映射1）若，即对于任意，均存在（或称σ为映上的）；2）若M中不同元素的象也不同，即（或），则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射,，使，则称σ是M到M´的一个满射（或称σ为1—1对应）

19例7判断下列映射的性质1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2（既不单射，也不是满射）τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝12）M=Z，M´＝Z＋，τ：τ(n)＝|n|＋1,（是满射，但不是单射）3）M＝，M´＝P，（P为数域）σ：σ(A)＝|A|，（是满射，但不是单射）（双射）

204）M＝P，M´＝P为数域,E为n级单位矩阵τ：τ(a)＝aE，（是单射，但不是满射）σ：σ(a)＝a0，（既不单射，也不是满射）6）M＝M´＝P[x]，P为数域σ：σ(f(x))＝f´(x)，（是满射，但不是单射）7）M是一个集合，定义I：I(a)＝a，8）M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,（双射）（双射）5）M、M´为任意非空集合，　　　为固定元素

21①对于有限集来说，两集合之间存在1—1对应的充要条件是它们所含元素的个数相同；②对于有限集A及其子集B，若B≠A（即B为A的真子集），则A、B之间不可能存在1—1对应；但是对于无限集未必如此.注：如例7中的8），σ是1—1对应，但2Z是Z的真子集．M=Z，M´＝2Z，σ：σ(n)＝2n,

224、可逆映射定义：设映射若有映射使得则称σ为可逆映射，τ为σ的逆映射，①若σ为可逆映射，则σ－1也为可逆映射，且（σ－1）－1＝σ．注：②为可逆映射，，若σ的逆映射是由σ唯一确定的记作σ－1．

23③σ为可逆映射的充要条件是σ为1—1对应．证：若映射为1—1对应，则对均存在唯一的，使σ(x)＝y，作对应即；即∴σ为可逆映射．则τ是一个M´到M的映射,且对

24即,所以σ为满射.其次，对，则即σ为单射.所以．σ为1—1对应．反之，设为可逆映射，则

25练习：找一个R到R＋的1—1对应．，规定解：则是R到R＋的一个映射.∵若，则，∴是单射．，存在，使故　是1—1对应．∴是满射．

262、令，问：1）g是不是R＋到R＋的双射？g是不是f的逆映射？2）g是不是可逆映射？若是的话，求其逆．解：1）g是R＋到自身的双射．∵，若，则，g是单射．并且，即g是满射．又∵，∴，g不是f的逆映射．事实上，．2）g是可逆映射．

273、设映射，证明：1）如果h是单射，那么f也是单射；2）如果h是满射，那么g也是满射；3）如果f、g都是双射，那么h也是双射，并且这与h是单射矛盾，∴f是单射．证：1）若f不是单射，则存在于是有

282）∵h是满射，，即，∴g是满射．又∵3）　　　，因为g是满射，存在,使又因为f是满射，存在　　　，使h是满射．∴

29∵若，由于f是单射，有又因为g是单射，有即,∴因而h是双射．h是单射.

301.3数学归纳法内容分布1.3.1最小数原理1.3.2数学归纳法的依据教学目的掌握映射的概念,映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。重点、难点映射的合成，满射、单射、可逆映射的判断。

311.3.1最小数原理数学归纳法所根据的原理是正整数集的一个最基本的性质——最小数原理.最小数原理正整数集的任意一个非空子集S必含有一个最小数，也就是这样一个数，对任意都有.其中表示全体正整数的集合.1．最小数原理并不是对于任意数集都成立的2．设c是任意一个整数，令注意那么经代替正整数集，最小数原理对于仍然成立.也就是说，的任意一个非空子集必含有一个最小数，特别，N的任意一个非空了集必含有一个最小数.这个原理的一般形式就是数学分析中的下（上）确界原理。

321.3.2数学归纳法的依据定理1.3.1（数学归纳法原理）设有一个与正整数n有关的命题.如果①当n=1时.命题成立；②假设当n=k时命题成立，当n=k+1时命题也成立；那么这个命题对于一切正整数n都成立.证设命题对于一切正整数都成立.令S表示使命题不成立的正整数所成的集合.那么.于是，由最小数原理，S中有最小数h.因为命题对于n=1成立，所以从而h-1是一下正整数.因为h是S中最小的数，所以.这就是说当n=h-1时，命题成立.于是由②，当n=h时命题也成立.因此.这就导致矛盾.

33例1证明，当时，n边形的内角和等于(n-2)π.证当n=3时，命题成立.因为三角形的内角和等于π=(3-2)π.假设时命题成立.任意一个k+1多边形，联结，那么的内角和就等于三角形的内角和加上k边形的内角和.前者等于π，后者由归纳法假定，等于(k-2)π.因此k+1多边形的内角和等于π+(k-2)π=(k-1)π=((k+1)-2)π.命题得证.

34定理1.3.2（第二数学归纳法）设有一个与正整数n有关的命题.如果①当n=1时命题成立；②假设命题对于一切小于k的自然数来说成立，则命题对于k也成立；那么命题对于一切自然数n来说都成立.数学归纳法可以推广到良序集合上，即所谓超限归纳原理。

351.4整数的一些整除性质一、内容分布1.4.1整除与带余除法1.4.2最大公因数1.4.3互素1.4.4素数的简单性质二、教学目的1.理解和掌握整除及其性质。2.掌握最大公因数性质、求法。3.理解互素、素数的简单性质。三、重点、难点整除、最大公因数性质、互素有关的证明。

361.4.1整除与带余除法设a，b是两个整数，如果存在一个整数d，使得b=ad，那么就说a整除b（或者说b被a整除）。用符号a|b表示a整除b。这时a叫做b的一个因数，而b叫做a的一个倍数。如果a不整除b，那么就记作.整除的基本性质：①②③④⑤每一个整数都可以1和-1整除。每一个整数a都可以被它自己和它的相反数-a整除⑥⑦

37定理1.4.1（带余除法）设a，b是整数且，那么存在一对整数q和r，使得满足以上条件整数q和r的唯一确定的。证令。因为，所以S是N的一个非空子集。根据最小数定理（对于N），S含有一个最小数。也就是说，存在，使得r=b-aq是S中最小数。于是b=aq+r，并且。如果，那么，而

38所以。这是与r是S中最小数的事实矛盾。因此.假设还，使得于是就有。如果那么由此或者，或者。不论是哪一种情形，都将导致矛盾。这样必须，从而，也就是说

391.4.2最大公因数设a，b是两个整数，满足下列条件的整数d叫做a与b的最大公因数：；①。如果②①一般地，设是n个整数。满足下列条件的整数d叫做的一个最大公因数：②

40定理1.4.2任意个整数都有最大公因数。如果d是的一个最大公因数，那么-d也是一个最大公因数；的两个最大公因数至多只相差一个符号。证由最大公因数的定义和整除的基本性质，最后一个论断是明显的。现证，任意n个整数有最大公因数。如果，那么0显然就是的最大公因数，设不全为零。考虑Z的子集I显然不是空集，因为对于每一个i

41又因为不全为零，所以I含有非零整数。因此是正整数集的一个非空子集，于是由最小数原理，有一个最小数d。我们说，d就是的一个最大公因数。首先，因为，所以d>0并且d有形式又由带余除法，有

42定理1.4.3设d是的一个最大公因数。那么存在整数，使得。如果某一，如，那么而。这与d是中的最小数的事实矛盾。这样，必须所有，即。另一方面，如果。那么。这就证明了d是的一个最大公因数。证若，那么d=0，定理显然成立。设不全为零，由定理1.4.2的证明，知，.因而存在，使得。

431.4.3互素设a，b是两个整数，如果（a,b）=1，那么就说a与b互素。一般地，是n个整数，如果，那么就说这n个整数互素。（1）定理1.4.4n个整数互素的充分且必要条件是存在整数，使得证如果互素，那么由定理1.4.2立即得到等式（1）成立。反过来，设等式（1）成立。令。那么c能整除（1）式中的左端。所以c|1，因此c=1,即。

441.4.4素数的简单性质一个正整数p>1叫做一个素数，如果除±1和±p外，没有其它因数。定理1.4.5一个素数如果带队两个整数a与b的乘积，那么它至少整除a与b中的一个。证设p是一个素数，如果p|ab，但，由上面所指出的素数的性质，必定有（p,a）=1。于是由定理1.4.4，存在整数s和t使得sp+ta=1两边同乘以b：spb+tab=b.左边的第一项自然能被p整除；又因为p|ab，所以左边第二项也能被p整除。于是p整除左边两项的和，从而p|b.

451.5数环和数域定义1设S是复数集C的一个非空子集，如果对于S中任意两个数a,b来说，a+b,a–b,ab都在S内，那么就称S是一个数环。例1取定一个整数a，令那么S是一个数环。事实上，S显然不是空集。设。那么如取a=2，那么S就是全体偶数所组成的数环。

46例2令.S显然不是空集，如果，那么定义2设F是一个数环，如果①F含有一个不等于零的数；②如果，那么就称F是一个数域。

47例3令，则F是一个数域。首先，容易看出，F是一个数环，并且，所以①成立。现设，那么。否则当d=0的情形将得出c=0，这与矛盾；在的情形将得出这与是无理数矛盾。因此这就证明了F是一个数域。

48定理1.5.1任何数域都包含有理数域Q。证设F是一个数域。那么由条件①，F含有一逐步形成不等于0的数a，再由条件②，。用1和它自己重复相加，可得全体正整数，因而全体正整数都属于F。另一方面，，所以F也含有0与任一正整数的差，亦即全体负整数。因为F含有全体整数。这样，F也含有用意两个整数的商（分母不为0），因而，F含有一切有理数。