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1、高等代数CAI课件张禾瑞郝炳新编(第四版)第一章基本概念第二章多项式第三章行列式第四章线性方程组第五章矩阵第六章向量空间第七章线性变换第八章欧氏空间第九章二次型广东教育学院数学系代数与几何教研室何谓高等代数大家知道，初等代数是研究数及代表数的文字的代数运算（加法、减法、乘法、除法、乘方、开方）的理论和方法，也就是研究多项式（实系数与复系数）的代数运算的理论和方法.而多项式方程及多项式方程组的解（包括解的公式和数值解）的求法及其分布的研究恰为初等代数研究的中心问题，以这个中心问题为基础发展起来的一般数域上的多项式理论与线性代数理论就是所谓的高等代数.本课程的意义、内容及学习要求高等代数是大学
2、数学中的一门重要基础课程，从内容上看，它是中学代数里有关内容的继续和提高。其中许多理论对于加深中学数学教材的理解有着直接的指导意义，因此作为一个合格的中学数学教师，学好这门课程是非常必要的。此外，高等代数的思想和方法已经渗透到数学的各个领域，在数学分析、几何、计算技术等学科有广泛的应用，所以，学好这门课程也有助于学好其它数学课程，并且高代是考研的一门必考课程。第一章基本概念第一节集合第二节映射第三节数学归纳法第四节整数的一些整除性质第五节数环和数域第一节集合及映射章节名称：集合及映射教学目的与要求：了解集合的概念和表示，运算；理解并掌握映射的定义，合成，单射满射等的定义，掌握双射的等价刻画
3、重点：证明映射是单射、满射的方法一、集合把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；常用大写字母A、B、C等表示集合；当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作:；当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作：1、概念组成集合的这些事物称为集合的元素．用小写字母a、b、c等表示集合的元素．☆关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明．集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔（G．Cantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合中的那些事物就称为集合的元素．即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性
4、.Remark:☆集合的表示方法：描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来.例1例2N＝，2Z＝例3M＝｛x
5、x具有性质P｝M＝｛a1，a2，…，an｝2、集合间的关系☆如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集，记作 ，（读作B包含于A）当且仅当☆空集：不含任何元素的集合，记为φ．注意：｛φ｝≠φ,空集是任意集合的子集☆如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与B相等，记作A＝B.A＝B当且仅当且3、集合间的运算交： ；并：显然有，1、证明等式:．证：显然，．又，∴，从而,．例题：故等式成立．2、已知，证明：又因，∴．又因，∴．
6、证：1）此即，因此无论哪一种情况，都有.此即，但是二、映射设M、M´是给定的两个非空集合，如果有一个对应法则σ，通过这个法则σ对于M中的每一个元素a，都有M´中一个唯一确定的元素a´与它对应,则称σ为称a´为a在映射σ下的象，而a´称为a在映射σ下的M到M´的一个映射，记作:或原象，记作σ(a)＝a´或1、定义①设映射,集合称之为M在映射σ下的象，通常记作Imσ．②集合M到M自身的映射称为M的一个变换．显然，注例4判断下列M到M´对应法则是否为映射1）M＝｛a，b，c｝、M´＝｛1,2，3,4｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c
7、)＝4τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4（不是）（是）（不是）2）M＝Z，M´＝Z＋，σ：σ(n)＝
8、n
9、,τ：τ(n)＝
10、n
11、＋1,（不是）（是）σ：σ(a)＝a0，4）M＝P，M´＝，（P为数域）τ：τ(a)＝aE，（E为n级单位矩阵）5）M、M´为任意两个非空集合，a0是M´中的一个固定元素.（是）（是）6）M＝M´＝P[x]（P为数域）σ：σ(f(x))＝f´(x)，（是）3）M＝，M´＝P，（P为数域）σ：σ(A)＝
12、A
13、，（是）例5M是一个集合，定义I：I(a)＝a，即I把M上的元素映到它自身，I是一个映射，例6任意一个在实数集R上的函数y＝f(x)都是实数集R到自身的映射，即，函
14、数可以看成是称I为M上的恒等映射或单位映射．映射的一个特殊情形．2、映射的乘积设映射，乘积定义为：(a)＝τ(σ(a))即相继施行σ和τ的结果，是M到M"的一个映射．①对于任意映射，有②设映射，有注：3、映射的性质:设映射1）若，即对于任意，均存在（或称σ为映上的）；2）若M中不同元素的象也不同，即（或），则称σ是M到M´的一个单射（或称σ为1—1的）；3）若σ既是单射，又是满射，则称σ为双射,，使，则称σ是M到M´的一
