高中数学第二章概率2超几何分布导学案北师大版选修2_3

高中数学第二章概率2超几何分布导学案北师大版选修2_3

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1、北师大版高中数学选修2_3导学案§2超几何分布自主整理一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品,用X表示取出的n件产品中次品的个数,那么P(X=k)=______________(其中k为非负整数).如果一个随机变量的分布列由上式确定,则称X服从参数为______________的超几何分布.高手笔记1.超几何分布,实质上就是有总数为N件的两类物品,其中一类有M(M≤N)件,从所有物品中任取n件,这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量,它取值为k时的概率为P(X=k)=①(k≤l,l是n和M中较小的一个

2、).2.在超几何分布中,只要知道N、M和n,就可以根据公式①求出X取不同值时的概率P,从而列出X的分布列.名师解惑1.如何判断随机变量X是否服从超几何分布?剖析:判断超几何分布时必须满足以下两条:(1)总数为N件的物品只分为两类:M(M≤N)件甲类(或次品),其余的N-M件为乙类(或正品).(2)随机变量X表示从N件物品中任取n(n≤N)件物品,其中所含甲类物品的件数.2.当随机变量X服从参数为N、M、n(M≤N,n≤N)的超几何分布时,X的所有可能取值有哪些?剖析:当N-M≥n时,X的所有可能取值为:0,1,2,…,l(l为M与n中较小的一个)

3、,例如(1)从10件产品(含有4件次品)中取3件,其中含有的次品数X的所有可能取值为0,1,2,3.(2)从10件产品(含有2件次品)中取3件,其中含有的次品数X的所有可能取值为0,1,2.当N-M

4、)取到的次品件数X的分布列;(2)至少取到1件次品的概率.分析:根据题意,取到的次品件数X为离散型随机变量,且X服从参数为N=100,M=5,n=3的超几何分布.解:(1)∵X服从参数为N=100,M=5,n=3的超几何分布,它的可能取值为0,1,2,3,由公式P(X=k)=(其中k为非负整数),可得随机变量X的分布列为:X0123北师大版高中数学选修2_3导学案P(2)根据随机变量X的分布列,可得至少取到1件次品的概率为:P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)≈0.13806+0.00588+0.00006=0.14400.故至

5、少取到1件次品的概率约为0.14400.绿色通道:准确找出随机变量X的取值,是解决此类问题的关键.变式训练1.从5名男生和3名女生中任选3人参加奥数训练,设随机变量X表示所选3人中女生的人数.(1)求X的分布列;(2)求“所选3人中女生人数X>1”的概率.解:(1)X可能取的值为0,1,2,3,P(X=k)=,k=0,1,2,3.所以X的分布列为:X0123P(2)由(1),“所选3人中女生人数X>1”的概率为P(X>1)=P(X=2)+P(X=3)=.【例2】在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏,在一个口袋中装有10个红球和20个白球,这些球除

6、颜色外完全相同,一次从中摸出5个球,至少摸到3个红球就中奖,求中奖的概率.分析:由题意知,摸到红球个数X为离散型随机变量,且X服从参数为N=30,M=10,n=5的超几何分布.解:∵X服从超几何分布,且X的可能取值为0,1,2,3,4,5,则至少摸到3个红球的概率为:P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=≈0.1912.故中奖的概率约为0.1912.绿色通道:由超几何分布的概念、公式以及上述两例我们知道:第一,当研究的事物涉及二维离散型随机变量(比如:次品、两类颜色等问题)时的概率分布可视为一个超几何分布;第二,在超几何分布中,

7、只要知道参数N、M、n就可以根据公式求出X取不同值时的概率,进而列出X的分布列.变式训练2.从一批有13个正品和2个次品的产品中任意取3个,求抽得次品数X的分布列,并求P(≤X≤).分析:先弄清楚随机变量X的取值,符合超几何分布,运用超几何分布的概率计算.解:X的可能取值为0,1,2.北师大版高中数学选修2_3导学案P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以X的分布列为:X012PP(≤X≤)=P(X=1)+P(X=2)=.【例3】某商场庆“五一”举行促销活动,活动期间凡在商场购物满88元的顾客,凭发票都有一次摸奖机会,摸奖规则如下:准备

8、了10个相同的球,其中有5个球上印有“奖”字,另外5个球上无任何标志,摸奖前在盒子里摇匀,然后由摸奖者随机地从中摸出5个球,奖品按摸出的

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