由递推式求通项公式方法总结

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1、由递推式求通项公式、数列求和方法总结一、叠加法1．适用于：----------这是广义的等差数列累加法是最基本的两个方法之一。若，则相加得例1已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。二、叠乘法1.○。------------适用于：若，则两边分别相乘得，8例2.已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，三、待定系数法适用

2、于1．形如,其中)型（1）若c=1时，数列{}为等差数列;（2）若d=0时，数列{}为等比数列;（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.待定系数法：设,得,与题设比较系数得,所以所以有：因此数列构成以为首项，以c为公比的等比数列，所以即：.8规律：将递推关系化为,构造成公比为c的等比数列从而求得通项公式例3.已知数列中，，求数列的通项公式。解：又是首项为2，公比为2的等比数列，即2．形如：(其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即：，累加即可.②若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以.即：,令，则,然后类型1，累加求通项.ii.两边同除以.目

3、的是把所求数列构造成等差数列。即：,令,则可化为.然后转化为线性递推来解，iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等比数列8设.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。例4已知数列满足，求数列的通项公式。解法一（待定系数法）：设，比较系数得，则数列是首项为，公比为2的等比数列，所以，即解法二（两边同除以）：两边同时除以得：，解法略解法三（同除以）两边同时除以得：，解法略练习.已知数列中，,，求。解：在两边乘以得：令，则,应用例7解法得：所以3．形如(其中k,b是常数，且)通过凑配可转化为;解题基本步骤：1、确定=kn+b2、设等比数列

4、，公比为p83、列出关系式,即4、比较系数求x,y5、解得数列的通项公式6、解得数列的通项公式例5在数列中，求通项.（逐项相减法）解：，①时，，两式相减得.令,则即②再由累加法可得.亦可联立①②解出.四、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例6已知数列满足，求数列的通项公式。解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，五、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型p>0，8例7.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项公式.解：两边取对数得：，，设，则是以2为公比的等比数列，，，，∴六、逐差法2（逐项相减法）1、递推公式中既有，又有分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系。例8已知数列的各

5、项均为正数，且前n项和满足，且成等比数列，求数列的通项公式。解：∵对任意有⑴∴当n=1时，，解得或当n≥2时，⑵⑴-⑵整理得：∵各项均为正数，∴当时，，此时成立当时，，此时不成立，故舍去8数列求和1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。（1）等差数列的求和公式：（2）等比数列的求和公式2．公式法：1+2+3…+n=如：3．错位相减法：比如例1．已知，求数列｛an｝的前n项和Sn.例2．已知数列，求前n项和。思路分析：已知数列各项是等差数列1，3，5，…2n-1与等比数列对应项积，可用错位相减法求和。解：当当84．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。例3.求和

6、思路分析:分式求和可用裂项相消法求和.解:5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。例4、求和：解：6．合并求和法：例5.求的和。7．倒序相加法：例6.求的和。8