1.2 子集、全集、补集讲义

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1、苏教版高中数学必修1讲义第一讲1.2子集、全集、补集要点一子集、真子集[重点]在上一节中，我们用约定的字母标记了一些特殊的集合，在这些特殊的集合中，我们会发现这样一个现象：正整数集中的所有元素都在自然数集中；自然数集中的所有元素都在整数集中；整数集中的所有元素都在有理数集中；有利数集中的所有元素都在实数集中.其实，上述各集合之间是一种集合见得包含关系；可以用子集的概念来表示这种关系.1．子集(1)定义：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A成为集合B的子集，记作AÍB或BÍA，读作“集合A包含于集合B”

2、或“集合B包含于集合A”.(2)举例：例如，{4，5}ÍZ，{4，5}ÍQ，ZÍQ，QÍR.AÍB可以用图1-2-1来表示.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①“A是B的子集”的含义是集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，既由x∈A，能推出x∈B，例如{-1，1}Í{-1，0，1，2}.②任何一个集合是它本身的子集，即对于任何一个集合A，它的任何一个元素都是属于集合A本身，记作AÍA.③我们规定，空集是任何集合的子集，即对于任何一个集合A，有ÆÍA.④在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A=Æ，

3、则A中不含任何元素；若A=B，则A中含有B中的所有元素，但此时都说集合A是集合B的子集.以上②③点告诉我们，在邱某一个集合时，不要漏掉空集和它的本身两种特殊情况.(4)例题：例1设集合A={1，3，a}，B={1，a2-a+1}，且AÊB，求a的值.解：∵AÊB，∴a2-a+1=3或a2-a+1=a，由a2-a+1=3，得a=2或a=-1；由a2-a+1=a，得a=1.第13页共13页苏教版高中数学必修1讲义第一讲经检验，当a=1时，集合A、B中元素有重复，与集合元素的互异性矛盾，所以符合题意的a的值为-1，2.2．真子集(1)定义：如

4、果AÍB，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集，记作AÜB或BÝA，读作“A真包含于B”或“B真包含A”.(2)举例：{1，2}Ü{1，2，3}.(3)理解子集的定义要注意以下四点：①空集是任何非空集合的真子集.②对于集合A、B、C，如果AÜB，BÜC，那么AÜC.③若AÜB，则.④元素与集合的关系是属于于不属于的关系，分别用符号“∈”和“Ï”表示；集合与集合之间的关系是包含于、不包含于、真包含于、相等的关系，分别用符号“Í”“Ú”“Ü”和“=”.(4)例题：例2写出集合{a,b,c}的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空真

5、子集.解：{a,b,c}的所有子集是：Æ，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}.其中除了{a，b，c}外，其余7个集合都是它的真子集.除了Æ，{a，b，c}外，其余6个都是它的非空真子集.练习：1．判断下列命题的正误：(1){2，4，6}Í{2，3，4，5，6}；(2){菱形}Í{矩形}；(3){x

6、x2+1=0}Í{0}；(4){(0，1)}Í{0，1}.解题提示：根据子集的定义，判断所给的两集合中前一个集合的任何一个元素是否都是后一个集合的元素.解：根据子集的定义，(1)显然正确；(2)中只有正

7、方形才既是菱形，也是矩形，其他的菱形不是矩形；(3)中集合{x

8、x2+1=0}是Æ，而Æ是任何集合的子集；(4)中{(0，1)}是点集，而{0，1}是数集，元素不同，因此正确的是(1)(3)，错误的是(2)(4).评点判断第13页共13页苏教版高中数学必修1讲义第一讲两集合之间的子集关系时，主要是看其中一个集合的元素是不是都在另一个集合中.2．写出集合A={p，q，r，s}的所有子集.解题提示：根据集合A的子集中所含有元素的个数进行分类，分别写出，不要漏掉.解：集合A的子集分为5类，即(1)Æ；(2)含有一个元素的子集：{p}，{q}，

9、{r}，{s}；(3)含有两个元素的子集：{p，q}，{q，r}，{r，s}，{s，p}，{p，r}，{q，s}；(4)含有三个元素的子集有：{p，q，r}，{p，q，s}，{q，r，s}，{p，r，s}；(5)含有四个元素的子集有：{p，q，r，s}．评点综上所述：集合A的子集有Æ，{p}，{q}，{r}，{s}，{p，q}，{q，r}，{r，s}，{s，p}，{p，r}，{q，s}，{p，q，r}，{p，q，s}，{q，r，s}，{p，r，s}，{p，q，r，s}，共16个．给定一个含有具体元素的集合，写其子集时，应根据子集所含元素

10、的个数进行分类.以下结论可以帮助检验所写子集数的正确性：若一个集合含有m个元素，则其子集有2m个，真子集有(2m-1)个，非空真子集有(2m-2)个.3．给出下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子