勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别.doc

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1、勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann积分（简称积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。首先介绍一下在有界函数范围内，积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴积分与极限可交换的条件太严。⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间内对函数进行积分。⑷缺乏单调收敛。鉴于积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue积分（简称积分）。那么，建立积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？积分的思路

2、也基本与积分一样先分割，作积分和，取取极限。在重新审视积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立积分的思路浮现出来。首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现的不定情形的出现，在定义积分时第一步仅限于非负函数。其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到积分“横着数”的思想。下文将详细的介绍积分和积分的区别和联系。关于Lebesgue积分与Riemann积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设是上的非负可测函数.我们定义是上的Lebesgue积分是上的非负可测简单函数}

3、，这里的积分可以是+∞;若,则称在上Lebesgue可积的。设是上的可测函数,若积分，中至少有一个是有限值,则称为是上的Lebesgue积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称是上是Lebesgue可积的。定义2：设是一个勒贝格可测集，，是定义在上的勒贝格可测函数，又设是有界的，就是说是否存在及，使得，在中任取一分点组,记,并任取（我们约定，当时，），作和如果对任意的分法与的任意取法，当时，趋于有限的极限，则称它为在上关于勒贝格测度的积分，记作.定义3：设是上的有界可测函数。作的任意分割=,其中为互不相交的非空可测子集。设,则的大和及小和为设在上的上下积分为若则

4、称在上是可积的,且称该共同值为在上的Lebesgue积分,记为。为了便于与R积分的定义比较我罗列了L积分的三种定义，这三种定义是等价的。由定义1定义L积分的方法可称为逼近法，所谓逼近法就是从特征函数的积分入手，然后用简单可测函数来逼近可测函数的方法.由定义2、3定义L积分的方法可称为划分法，所谓划分法就是类似于积分的定义法，先对可测集进行划分，在此基础上给出L积分。对于定义1的逼近法比较繁琐但是这种定义易于与R积分的定义比较，下面是R积分的定义。1．2黎曼积分的定义不太严格地来说，黎曼积分就是当分割越来越“精细”的时候，黎曼和趋向的极限。这就是黎曼积分定义的大概描

5、述。严格定义如下：定义1：S是函数在闭区间上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在，使得对于任意的取样分割只要它的子区间长度最大值，就有：也就是说，对于一个函数，如果在闭区间上，无论怎样进行取样分割，只要它的子区间长度最大值足够小，函数的黎曼和都会趋向于一个确定的值，那么在闭区间上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限，这时候称函数为黎曼可积的。这个定义的缺陷是没有可操作性，因为要检验所有的取样分割是难以做到的。定义2设是定义在上的有界函数，任取一分点组T将区间分成n部分，在每个小区间上任取一点,1,2,3,….作和令，如果对任意的分发与的任意取法，当时，趋于有限

6、的极限，则称它为在上的黎曼积分，记为定义3：是函数在闭区间[a,b]上的黎曼积分，当且仅当对于任意的，都存在一个取样分割，使得对于任何比其“精细”的分割和，都有：如果有一个满足了其中一个定义，那么它也满足另一个。首先，如果有一个满足第一个定义，那么只需要在子区间长度最大值的分割中任取一个。对于比其精细的分割，子区间长度最大值显然也会小于，于是满足：上面对黎曼积分的三种定义都是等价的。首先引进达布积分的概念，第二个定义和达布积分的定义是等价的（具体见达布积分定义）其次我们证明达布积分的定义满足第一个定义。任选一个分割使得它的上达布和与下达布和都与相差不超过。令等于，

7、其中和是在上的上确界和下确界。再令是和中的较小者。可以看出，当一个分割的子区间长度最大值小于时，关于它的黎曼和与上达布和或下达布和至多相差，所以和至多相差。由于以上原因，黎曼积分通常被定义为达布积分（即第二个定义），因为达布积分比黎曼积分更简单、更有可操作性。从定义上看，它们的主要区别是：积分是“竖”着分割区间，而积分是“横”着分割值域.前者的优点是的度量容易给出，但当分法的细度充分小时，函数在上的振幅仍可能较大；后者的优点是函数在上的振幅较小，但一般不再是区间，而是可测集.其度量的值一般不易给出.对定义域与对值域的分割是积分与积分的本质区别，对值域进行分割求积分

8、的方法使中