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1、也谈黎曼积分与勒贝格积分的区别及联系NO.9堕塾TIMEEDUCAT10NSevtember也谈黎曼积分与勒贝格积分的区别及联系黄永峰摘要:本文从学过的黎曼积分和勒贝格积分的知识出发,探讨和归纳出两者之间的区别与联系,通过两者的定义,被积函数的连续性,有界性,绝对可积性以及广义黎曼积分和勒贝格积分的比较,说明勒贝格积分在处理一些黎曼积分难以解决的问题时更加地有优越性,同时指出勒贝格积分是黎曼积分的推广,但不是黎曼反常积分的推广.关键词:黎曼积分勒贝格积分反常积分连续性有界性中图分类号:O174.12文献标识码:A
2、DO1:10.3969/j.issn.1672—81812011.()9.0091积分理论的发展黎曼积分和勒贝格积分分别是数学分析及实变函数的核心内容.尽管牛顿和莱布尼兹发现了微积分,并且给出了定积分的论述,但目前教科书中有关定积分的现代化定义是黎曼给出的.最早柯西对连续函数给出了积分的定义.黎曼在柯西的基础上对"基本上"连续的函数给出了积分的定义.早期人们运用黎曼积分来计算曲边形面积,物体重心以及物理学上的功和能等都是很方便的.然而随着认识的深入,人们开始经常地处理复杂的函数.例如由一列性质良好的函数组成级数所
3、定义出来的函数,两个变元的函数对一个变元积分后所得到的一元函数等.在讨论它们的可积性,连续性,可微性时,经常遇到积分与极限能否交换顺序的问题,通常只有在很强的假设下(一致收敛)才能对这问题作出肯定的回答.因此,在理论和应用上都迫切要求建立一种新的积分,它既能保持黎曼积分的几何直观和计算上的有效性,又能在积分与极限交换顺序等条件上有较大的改善.1902年法国数学家勒贝格出色地完成了这一项工作,建立了以后人们称之为勒贝格积分的理论.勒贝格积分是黎曼积分的重要推广,它与黎曼积分的主要区别在于前者是对函数的函数值的区域进
4、行划分,而后者是对函数定义域进行划分.这两种积分既有区别也有联系,通过对这两种积分的对比研究,能让我们加深对积分理论及应用的理解.2黎曼积分与勒贝格积分定义及性质的比较2.1两者定义的比较定义1[1设厂是定义在,b]32的一个函数,是一个确定的实数,若对任给的正数e,总存在某一正数8,使得对的任何分割,以及在其上任意选取的点集{∈,},只要IITIl<8,就有l乏∈)△x.-jI<￡,则称函数.厂在区间fⅡJ纠上黎曼可积,数-,称为.厂在b】上的定积分或黎曼积分,记作I>x)ax.定义2设x)为
5、[a,b】上的有界函数,T={△,li=l2一,n)为对[a,b】的任一分割,它在△,每个上存在上,下确界:M-:(,A—m.infRx),i=l2一,n,作和s(T):萎M.△x,s(T):善M.△x.,当任给￡>0,总存在相应的一个分割T使得s(T)一s(T)<8,我们就说它黎曼可积.显然黎曼积分的这两种定义是等价的,下面给出勒贝格积分的定义,我们约定E集为测度有限集(mE<+..),且在未作做特别说明时,总认为x)是有界函数,即存在有限开区间(A,B),使f(E)c(A,B)设x)在E上可
6、测,在[A,B】中任取一分划D:A=A.<A<…A
7、I=B,记6(D)=max(A—A),Ek=E(A≤x)<A)并任取∈Ek_】,A],作和式s(D)=￡mE,则称s(D)为x)在分划D下的一个"和数".定义3若存在有限实数S,对任意实数s>0,存在8,使对任一分划D,当8(D)<6时,有IS(D)=SI<8.则说有S_lim.S(D),这时,就称f在g上可积,其积分值就是s,记作s=I)am.由上可见,黎曼积分和勒贝格积分的定义的主要区别在于分割的对象的不同.下面我们从被积
8、函数的连续性,有界性,绝对可积性等方面对两类积分进行一下讨论.2.2被积函数连续性的比较引理1若f(x)是在定义在【a,hi~的有界函数,则f(x)在【a'b]上是黎曼可积的充分条件是f(x)在a,b1上的不连续点集是零测度集.定理1定义在有限区间【a,b】上的函数若为黎曼可积,则必勒贝格可积,且积分值相等,即(R)J:fIx)dx:(L)』x)dx.这说明f(X)在a'b1上黎曼积分与勒贝格积分是相等的,反之勒贝格可积的函数未必黎曼可积.例1,.f)t/,l,在线段[0,1】上不是黎曼可积的,却是II,【JI勒
9、贝格可积的.这因为除了点x=l外,闭区间f0,112._的其余点都是间断点,即它在一正测度集上间断,所以它不是黎曼可积的,但因为x)有界可测,所以这个函数是勒贝格可积的.2.3被积函数有界性的比较我们知道函数黎曼可积的充要条件是函数的不连续点的全体成一零测集,函数的连续点的全体所构成的集合必须是稠密集,粗略地说,黎曼积分理论是针对连续函数或"基本上"连续的函数而建立的,同
