微专题 抛物线的性质

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1、抛物线的性质内容回顾一．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．二．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0，0)对称轴y＝0x＝0焦点F(，0)F(－，0)F(0，)F(0，－)离心率e＝1准线方程x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0))

2、PF

3、＝x0＋

4、PF

5、

6、＝－x0＋

7、PF

8、＝y0＋

9、PF

10、＝－y0＋三与焦点弦有关的常用结论设A(x1，y1)，B(x2，y2)．1.y1y2＝－p2，x1x2＝.2.

11、AB

12、＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．3.＋为定值.，4.以AB为直径的圆与准线相切．5.以AF或BF为直径的圆与y轴相切．6.过的顶点作两条射线交抛物线于,,则过定点，作于,点的轨迹方程为7.在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率11典型题一抛物线的定义及其应用1.已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，则抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)A.B．2C.D．3解：由题可

13、知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点F为(1，0)，则动点P到l2的距离等于

14、PF

15、，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是＝2.典型题二抛物线的标准方程及性质2.抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且

16、MF

17、＝4

18、OF

19、，△MFO的面积为4，则抛物线方程为(　　)A．y2＝6xB．y2＝8xC．y2＝16xD．y2＝x[解析]　(1)依题意，设M(x，y)，

20、OF

21、＝，所以

22、MF

23、＝2p，x＋＝2p，x＝，y＝p，又△MFO的面积为4，所以××p＝4，解

24、得p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.典型题三直线与抛物线的位置关系3.已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p×1，所以p＝2.故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1.(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，由得y2＋2y－2t＝0.因为直线l与抛物线C有公共点，所以Δ＝4＋8

25、t≥0，解得t≥－.另一方面，由直线OA与l的距离d＝，可得＝，解得t＝±1.因为－1∉，1∈，所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0.典型题四抛物线方程的实际应用4.某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为20米，拱顶距水面6米，桥墩高出水面4米，现有一货船欲过此桥孔，该货船水下宽度不超过18米，目前吃水线上部分中央船体高5米，宽16米，且该货船在现在状况下还可多装1000吨货物，但每多装150吨货物，船体吃水线就要上升0.04米，若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔，为什么？解：建立如图所示的直角坐标系，设抛物线

26、方程为y＝ax2，由题意知点A(10，－2)在抛物线上，代入方程求解，得a＝－，方程即为y＝－x2.11让船沿正中央航行，船宽16米，而当x＝8时，y＝－×82＝－1.28，此时抛物线上的点B距离水面－1.28＋6＝4.72(米)，又船体水面以上高度为5米，所以无法通过；又5－4.72＝0.28(米)，0.28÷0.04＝7，150×7＝1050吨，故至少应再装1050吨货物才能通过，而现在只能多装1000吨，故无法通过，只能等到水位下降.方法总结：1.求抛物线的标准方程的方法①先定位：根据焦点或准线的位置；②再定形：即根据条件求p.2.抛物线性质的应用技巧①利用抛物线方程确定

27、及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程；②要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算．3.解决直线与抛物线位置关系问题的方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式

28、AB

29、＝

30、x1

31、＋

32、x2

33、＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等