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1、王清娟二次矩阵的逆特征值问题二次矩阵的逆特征值问题王清娟（数学与应用数学系指导老师：杨忠鹏）摘要：对任意给定特征值,对任意给定的非零复数,MarekAleksiejczyk和AlicjaSmoktunowicz指出存在以为化零多项式的二次矩阵使得为的特征值.本文证明了此结论对分别以,为化零多项式的二次矩阵也是成立的.本文还研究了二次矩阵的奇异值反问题,即存在以为奇异值的二次矩阵,使得且;同时也探讨了一个二次方程在相似下能够确定多少类相对应的二次矩阵.关键词：二次矩阵逆特征值奇异值相似类Abstract:Forarbi
2、trarygivennon-zerocomplexnumbers,MarekAleksiejczyandAlicjaSmoktunowiczpointedoutthatthereexistquadraticmatricessatisfyingthesameannihilatingpolynomialsuchthataretheeigenvaluesof.Thispaperistoprovethatitisalsotrueforsatisfyingtheannihilatingpolynomial,respective
3、ly,where.Thisarticleisalsodevotedtotheinversesingularvalueproblemofquadraticmatrices,thatis,thereexistquadraticmatricessatisfyingand.Atthesametime,Thispaperdiscussesonequadraticequationcandeterminehowmanyclassesofrespondingquadraticmatricesonthebaseofsimilarity
4、.Keywords:QuadraticmatricesInverseeigenvalueSingularvalueSimilarityclasses0符号说明及引言二次矩阵是一类囊括了幂等矩阵、对合矩阵等重要矩阵的矩阵,因此研究二次矩阵具有一定的意义.为了后面的写作方便,首先进行如下的符号说明.用表示复数域上的全体阶矩阵的集合；表示阶单位矩阵；表示复数域上的全体维列向量作成的集合；设复矩阵为的共轭矩阵,其中为的共轭复数.即对进行转置.表示的共轭转置矩阵.在本文中用表示A的共轭转置矩阵；表示矩阵的全体特征值的集合（即的
5、谱）；表示矩阵的全体奇异值的集合.定义1,若存在数使得,则称为二次矩阵.（见文16王清娟二次矩阵的逆特征值问题[1],[2],[3],[4]）.注：二次矩阵囊括了许多特殊而重要的矩阵,例如：当时,（幂等矩阵）当时,（对合矩阵）当时,（幂零矩阵）当时,（反幂等矩阵）定义2设,如果存在和非零向量,使,则叫做的特征值,叫做的属于特征值的特征向量.定义3（见文[5]）设,的特征值为,则称为矩阵的正奇异值定义4设,若有可逆矩阵,使得,则称与相似.定义5（见文[6]）设,则称且与相似为矩阵所在的相似类.定义6(见文[7])形式为
6、的矩阵称为块,其中是复数.矩阵逆特征值问题是代数学的一个核心内容,它主要研究在一定条件下,对给定的特征值或特征对,能否构造出所要求的特定类的矩阵及满足一定谱约束的最佳逼近(见文[8]).矩阵逆特征值问题的研究范围相当广泛,主要来自于离散的数学物理反问题、结构振动系统的设计、系统参数识别、主成分分析与勘测、天线讯号处理、地球物理、粒子物理的核光谱学、电路理论、地震断层成像技术、机械系统模拟等许多重要应用领域．例如逆特征值方法是结果动态设计飞行器设计中的振动设计的有力工具（见文[9]）,矩阵逆特征值问题随着所给条件或应用
7、背景不同而产生了各种各样的提法.[10]比较全面的阐述了各种类型的矩阵逆特征值的问题,关于逆特征值的研究已经取得了许多很有意义的成果.[10]、[11]它主要是研究Javobi矩阵、对称三对角矩阵、正交矩阵、对称非复负定矩阵等等具有某种特殊性质的矩阵的逆特征值问题.对于一般矩阵的逆特征值问题的研究是比较困难的,目前国内外对此研究甚少,但却又是代数学的一个核心内容,基于此,本文想要研究一类较为一般的矩阵：二次矩阵的逆特征值问题.二次矩阵包括一下几种重要的矩阵：幂等矩阵（）,对合矩阵（）,幂零矩阵（）,初等矩阵(),例如
8、：Householder反射与消元矩阵（见[19]）.由此可知二次矩阵的地位.为此,本人先参阅了一些有关二次矩阵的文献,[1],[2],[3],[4]研究了二次矩阵的数值域,奇异值,特征值,线性组合的可逆性等基本性质.16王清娟二次矩阵的逆特征值问题[1]研究了二次矩阵乘积的逆特征值问题.命题1（见[1,定理2.2]）对任意非零数,存在二次矩阵
