2014年高考数学一轮复习经典教案17推理与证明(理)

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1、考纲导读推理与证明(一)合情推理与演绎推理1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用。2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单推理。3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。(二)直接证明与间接证明1.了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。2.了解间接证明的一种基本方法──反证法;了解反证法的思考过程、特点。(三)数学归纳法了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.高考导航1

2、.推理与证明的内容是高考的新增内容,主要以选择填空的形式出现。2.推理与证明与数列、几何、等有关内容综合在一起的综合试题多。第1课时合情推理与演绎推理基础过关1.推理一般包括合情推理和演绎推理;2.合情推理包括和;归纳推理:从个别事实中推演出,这样的推理通常称为归纳推理;归纳推理的思维过程是:、、.类比推理:根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其它方面也或,这样的推理称为类比推理,类比推理的思维过程是:、、.3.演绎推理:演绎推理是,按照严格的逻辑法则得到的推理过程;三段论常用格式为:①M

3、是P,②,③S是P;其中①是,它提供了一个个一般性原理;②是,它指出了一个个特殊对象;③是,它根据一般原理,对特殊情况作出的判断.4.-13-合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程,归纳和类比是合情推理常用的思维方法;在解决问题的过程中,合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用,有得于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到的新结论的推理过程.典型例题例1.已知:;通过观察上述两等式的

4、规律,请你写出一般性的命题:________________________________________=(*)并给出(*)式的证明.解:一般形式:证明:左边=====(将一般形式写成等均正确。)变式训练1:设,,n∈N,则解:,由归纳推理可知其周期是4例2.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O—LMN,如果用表示三个侧面面积,表示截面面积,那么你类比得到的结

5、论是.-13-解:。变式训练2:在△ABC中,若∠C=90°,AC=b,BC=a,则△ABC的外接圆的半径,把上面的结论推广到空间,写出相类似的结论。答案:本题是“由平面向空间类比”。考虑到平面中的图形是一个直角三角形,所以在空间中我们可以选取有3个面两两垂直的四面体来考虑。取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A—BCD,且AB=a,AC=b,AD=c,则此三棱锥的外接球的半径是。例3.请你把不等式“若是正实数,则有”推广到一般情形,并证明你的结论。答案:推广的结论:若都是正数,证明:∵都是正数∴,………,,变式训练

6、3:观察式子:,…,则可归纳出式子为()A、B、C、D、答案:C。解析:用n=2代入选项判断。例4.有一段演绎推理是这样的:“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线平面,直线平面,直线∥平面,则直线∥直线”的结论显然是错误的,这是因为()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案:A。解析:直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。变式训练4:“AC,BD是菱形ABCD的对角线,AC,BD互相垂直且平分。”-13-补充以上推理的大前提是。答案:菱形对角线互相垂直且平分基础过关第2课时直

7、接证明与间接证明⑴1.直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立,这种证明方法叫直接证明;直接证明的两种基本方法——分析法和综合法⑴综合法——;⑵分析法——;Þ2.间接证明:间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法;反证法即从开始,经过正确的推理,说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法(归谬法).典型例题例1.若均为实数,且。求证:中至少有一个大于0。答案:(用反证法)假设都不大于0,即,则有,而=∴均大于或等于0,,∴,这与假设矛盾,故中至少有一个大于0。变

8、式训练1:用反证法证明命题“可以被5整除,那么中至少有一个能被5整除。”那么假设的内容是答案:a,b中没有一个能被5整除。解析:“至少有n个”的否定是“最多有n-1个”。例2.△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,求证:。答案:证明:要证,即需证。即证。又需证,需证-13-∵△ABC三个内角A、B、C成等差数列。∴B=60°。由余弦定理,有,即。∴成立,命

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