分式函数值域解法汇编

《分式函数值域解法汇编》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、分式函数值域解法汇编甘肃省定西工贸中专文峰分校　张占荣函数既是中学数学各骨干知识的交汇点，是数学思想，数学方法应用的载体，是初等数学与高等数学的衔接点，还是中学数学联系实际的切入点，因此函数便理所当然地成为了历年高考的重点与热点，考查函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数以及函数图象。而对函数值域的考查或是单题形式出现，但更多的是以解题的一个环节形式出现，其中求分式函数的值域更是学生失分较大知识点之一。为此，如何提高学生求分式函数值域的能力，是函数教学和复习中较为重要的一环，值得探讨。下面就本人对分式函数值域的教学作如下探究，不

2、馁之处、敬请同仁指教。 一、相关概念 函数值是指在函数y＝f(x)中，与自变量x的值对应的y值。函数的值域是函数值的集合，是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。分式函数是指函数解析式为分式形式的函数。 二、分式函数的类型及值域解法 类型一：一次分式型 一次分式型是指分子与分母都是关于自变量x（或参数）的一次函数的分式函数。1.y=(a0)型例１　求函数y=的值域。解法一：常数分离法。将y=转化为y=（k1,k2为常数），则yk

3、1解：∵y==，   ∴y。解法二：反函数法。利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系，通过求反函数的定义域，得到原函数的值域。解：反解y=得x=，   对调y=(x)，       ∴函数y=的值域为y。2.y=(a0)型分析：这是一道含三角函数的一次分式函数，由于含三角函数，不易直接解出x，但其有一个特点：只出现一种三角函数名。可以考虑借助三角函数值域解题，其实质跟y=（t=sinx）在t的指定区间上求值域类似。   即：将y=反解得sinx=f(y),而-1≤sinx≤1,即-1≤f(y)≤1，解之即可。例２　求函数y=的

4、值域。解：由y=得，sinx=，  ∵-1≤sinx≤1，  ∴-1≤≤1，  解之得≤y≤3。3.y=或y=(a0)型分析：这道题不仅含有三角函数，且三角函数不同，例2解法行不通，但反解之后会出现正、余弦的和、差形式，故可考虑用叠加法。即：去分母以后，利用叠加公式和

5、sinx

6、≤1解题。例３　求函数y=的值域。解：∵2cosx+100，   ∴3sinx-2ycosx=10y+3。   ∴,其中，   由和得，   ∴,整理得8y2+5y≤0。   ∴≤y≤0即原函数的值域为[，0]。总结：求一次分式函数的值域，首先要看清楚是在整

7、个定义域内，还是在指定区间上；其次用反函数法解题；再次还要注意含三角函数的分式函数，其实质是在指定区间上求分式函数的值域。 类型二：二次分式型 二次分式型是指分子与分母的最高次项至少有一项是关于x的二次函数。由于出现了x2项，直接反解x的方法行不通。但我们知道，不等式、函数、方程三者相互联系，可以相互转化。所以可考虑将其转化为不等式或方程来解题。１.y=(a、d不同时为0)，x∈R型分析：去分母后，可将方程看作是含参数y的二次方程f(x)=0。由于函数的定义域并非空集，所以方程一定有解，≥0(f(y)≥0),解该不等式便可求出原函数

8、的值域。即：用判别式法。先去分母，得到含参数y的二次方程f(x)=0,根据判别式≥0（=f(y)）,即可求出值域。例４　求函数y=的值域。解：由y＝得yx2－3x＋4y＝0。当y＝0时，x＝0，当y≠0时，由△≥0得-≤y≤。∵函数定义域为R，∴函数y＝的值域为[-，] 。说明：判别式法求二次函数的值域只适用于在整个定义域内，但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域，否则就会放大值域。2.y=(a、d不同时为0)，指定的区间上求值域型。   例５　求（x<）的值域。    分析：因为x<，所以若用判别式法，可能会放大其值域。可以考虑

9、使用均值定理解题。    解：∵x< ， ∴5-4x>0,>0。        ∴=1-4x+=[(5-4x)+]-4≥2-4=-2，        ∴原函数的值域为。例６　求的值域。   错解：=≥2。   分析：在使用均值定理时一定要注意使用条件“一定、二正、三相等”，显然上述解法中和不能相等，“相等”条件不能成立。所以不能使用均值定理。但若用判别式法又无法解决根式问题，此时可考虑借函数的单调性求值域。   解：用单调性法=，令=t，显然t≥2，则y=t+(t≥2)，任取2≤t1≤t2,则f(t1)=t1+,f(t2)=t2+，

10、f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)=(t1-t2)(1-)，∵2≤t1≤t2  ∴t1-t2<0,t1·t2≥4,1->0，∴f(t1)-f(t2)=(t1-t2)(1-)<0 。∴f(t1)