求根公式的推导

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1、21.2.2求根公式的推导教学设计鹿泉经济开发区学校李树贞教学内容：人教版数学九年级上册21.2.2用公式法解一元二次方程（教材9-12页）教学目标1、知识与技能能用配方法推导一元二次方程的求根公式；能用求根公式解一元二次方程；能利用根的判别式不解方程判断一元二次方程的根的情况。2、过程与方法通过公式法的引入，培养学生寻求简便算法的探索精神；在教师的指导下，经历观察、推导、交流归纳等活动得出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结的能力。3、情感、态度与价值观在自主探究与合作交流的过程

2、中，激发学生的求知欲，进一步发展学生合作交流的意识和能力。教学重点：求根公式的推导和利用求根公式熟练地解一元二次方程教学难点：一元二次方程的求根公式的推导教学过程一、复习旧知1、前面我们学习了用配方法解一元二次方程，谁来回忆一下步骤2、通过做练习，你对配方法解一元二次方程有什么感受？【设计意图：1、为本节课用配方法推导一元二次方程的求根公式作铺垫。2、引导学生明白为什么要学公式法，这样可以培养学生的理性精神。】二、导入新课谈话：在数学史上，数学家们就希望用公式来解一元二次方程，这样就可以避免配方的

3、麻烦了，这节课我们就来探索公式法（板书课题）。三、探究新知1、提问：一元二次方程的一般形式是什么？2、用配方法解一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）解：把常数项移到等号的右边ax2+bx=-c二次项系数化为1，得x2+配方，得x2降次，得=？【以上步骤以提问的方式进行，降次部分让学生在小组里讨论解决，这样让学生心中的疑问充分暴露出来，在小组里交流，使学生充分经历推导求根公式的过程。】3、归纳与总结在学生小组合作交流下，教师引导学生总结出一下结论，并板书∵a≠0，∴4a2>0，b2-

4、4ac分三种情况（1）b2-4ac>0时，此时方程有两个不等的实数根（2）b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根（3）b2-4ac<0时，因此方程无解4、问题：由刚才的过程，我们发现用配方法解一元二次方程的一般式出现了3种可能性，请问同学们这是由什么决定的？5、在学生回答的基础上引出根的判别式：一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ=b2-4ac由上可知：当Δ＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实数根

5、；当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）无实数根。6、问题：当Δ满足什么条件时，方程有实数根？由此引出求根公式来。因此，当Δ≥0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）的实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式7、问题：刚才我们是用什么方法推导出来的一元二次方程的求根公式？（配方法）求根公式表达了用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的结果。解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以

6、避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法。四、学以致用谈话：如何用公式法来解一元二次方程呢？它的规范步骤又是如何？下面老师和大家一起解决一道题。1、用公式法解方程5x2-3x=x+1•解：方程化为：•a=5，b=-4，c=-1•Δ=b2-4ac=(-4)2-4×5×(-1)=36＞0•方程有两个不等的实数根即【学生虽然掌握了求根公式，但是如何利用求根公式规范解一元二次方程还不明白，因此在这里采用老师和学生共同来完成，意在指导学生的步骤】2、例用公式法解下列方程（1）x2-4x-

7、7=0（2）（3）x2+17=8x【学生独立完成，之后在小组里交流，或翻开课本11页自己订正。目的是学生通过自己检查自己的错误，可以印象更深刻一些，并且指导熟练掌握规范步骤】3、解决本章引言中雕像问题要设计一座高2m的人体雕像,使它的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部的高度比,求雕像的下部应设计为高多少米?（结果保留小数点后两位）五、归纳与总结提问：通过我们刚才实际练习，谈谈用公式法解一元二次方程的步骤1、把方程化为一般形式。2写出a，b，c的值。3、求出b2-4ac的值，并判

8、断根的情况。4、把a，b，c的值代入求根公式5、写出方程的根x1，x2七、拓展延伸1、关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根，则m的取值范围是（）2、关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不等的实数根，则k的取值范围是（）【设计意图：达到学生能根据根的情况灵活运用根的判别式解决问题的目的】八、小结与反思1、一元二次方的求根公式是用什么方法推导出来的？2、说说一元二次方的求根公式？根的判别式？如何用根的判别式判断根的情况？3、说说用公式法解一元二次方程的步骤。九、布置