求根公式的推导 (4)

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1、一元二次方程的根与系数的关系教学目标知识与能力：1、在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系；2、能运用根与系数的关系检验两数是否为原方程的根；3、已知一根求另一根及系数。过程与方法：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。情感、态度与价值观：通过情景教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。教学重、难点重点：一元二次方程根与系数的关系的应用。难点：对一元二次方程根与系数的关系的理解和推导。一、创设情

2、景，引入新课师：在上一节“一元二次方程的根的判别式”中，我们讲了一个小秘诀，就是不解方程，就能知道一元二次方程的根的情况。同学们还记得这个小秘诀是什么吗？通过“Δ”的值来判断一元二次方程的根的情况。当“Δ＞0”时，方程有两个不相等的实数根；当“Δ=0”时，方程有两个相等的实数根；当“Δ＜0”时，方程没有实数根。二、探索新知，解决问题1、两人一组，完成问题卡片上的表格1.方程x1x2x1+x2x1x2x2+3x-4=0x2-5x+6=02x2+3x+1=0表格1问1：你发现了什么规律？请用语言叙述你发现的规律。问2：若方程x2+px+q

3、=0的两根是x1、x2，你能用式子表示出你发现的规律吗？x1+x2=–p，x1x2=q3问3：是不是所有的一元二次方程都具有这样的规律呢？答：因为这几个一元二次方程的二次项系数都是1，如果二次项系数不为1时，可能就不存在这样的关系了。问4：同学们观察的非常的仔细。那么对于一般的一元二次方程根与系数又会存在着怎样的关系呢？2、还是两个同学一组，完成问题卡片上的表格2。方程x1x2x1+x2x1x29x2–6x+1=03x2–4x+1=03x2+7x+2=02x2+x+1=0表格2问5：观察表格2，你又有什么发现？你能用语言文字概括你的发

4、现吗？问6：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，你能用式子表示你发现的规律吗？。x1+x2，x1x2。问7：我们的猜想是否正确呢？设一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，∴，.（学生1上黑板演示）3（学生2上黑板演示）韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，Δ≥0)的两个根为x1、x2，那么，x1+x2，x1x2。（一元二次方程根与系数的关系，是由十六世纪法国数学家韦达发现的，为了纪念韦达对数学界所作出的贡献，因此以他的名字来命名。其实，很多真理都是从我们日常生活

5、中发现的。例如牛顿从一颗下落的苹果中领悟到行星运转的道理，从而发现了万有引力；德国天文学家魏格纳，躺在病床上看到挂在墙上的世界地图，发现了“大陆漂移说”等等。同学们，今天你们认真观察身边中的每件小事、多动脑、多思考，也许明天你也会成为伟人，被载入史册，流芳百世。）好了，我们言归正传。我们学习了韦达定理，那么它在我们生活中有哪些应用呢？在你们的问题卡片上有几个例题，我们一起来看一下。三、应用新知例1：方程有一个正根，一个负根，求m的取值范围例2：利用根与系数的关系，求一元二次方程两个根的；（1）平方和；（2）倒数和例3：方程x2-(m+

6、1)x+2m-1=0求m满足什么条件时,方程的两根互为相反数？方程的两根互为倒数？方程的一根为零？四、巩固新知，提高认知五、课堂小结1、韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，Δ≥0)的两个根为x1、x2，那么，x1+x2，x1x2。（要特别强调a和Δ的取值范围）。2、韦达定理的应用：（1）已知方程的一根，求另一根及未知数的值。（2）求关于两根的代数式的值。六、课堂作业3