高考复习——第五章 复数

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1、全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem高考复习指导讲义第五章复数一、考纲要求1.理解复数、虚数、纯虚数的概念以及复数相等的概念，掌握复数的代数形式及其运算法则，能正确地进行复数代数的运算。2.掌握复数三角形式及其特征，三角形式与代数形式的互化能熟练运用复数的三角形式进行复数的乘、除法及乘方、开方运算。3.理解复数的模、辐角、辐角主值和共轭复数的概念，掌握相关性质，能运用它们解决相关的复数问题。4.理解复数的几何表示及向量表示，掌握复数加法、减法、乘法的几何意义，并能运用它们解决一些复数问题

2、，会计算平面上两点间的距离。5.掌握复平面上点的轨迹方程的复数表示形式，会运用复数有关性质求点的轨迹方程。6.掌握一元二次方程、二项方程在复数集上的解法，某些复系数方程和含有参数的方程的解法；韦达定理、实系数方程的虚根成对等性质及应用。二、知识结构学习复数，要抓住概念、运算、几何意义三个环节复数概念的最重要内容是复数的二维性，即复数是形如a+bi,(a,bR)的数。复数的二维性又决定了研究复数的基本方法是分离实部和虚部的方法。新概念、新算法、新结论、范围大、头绪多是实数集合所没有的，列表如下：i4k=1i4k+1=Ii4k+2=-1i4k+

3、3=-i(k∈N)虚数单位i2=-1复数概念=-I(1±i)2=±2i=I=-ia=c复数的实部、虚部——a+bi=c+dib=d共轭复数=±=复数共轭虚数=()(Z2≠0)向量、模、等向量、零向量a+bi(a，b)复数的向量表示｜Z1｜-｜Z2｜≤｜Z1±Z2｜≤｜Z1｜+｜Z2｜｜Z1·Z2｜=｜Z1｜·｜Z2｜复数的模｜｜=｜Zn｜=｜Z｜n(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i复数的加法法则复数加法的几何意义复数代数(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i形式的四复数的减法法则则运算复数减法的几何意义复平面

4、上两点间的距离d=｜Z1-Z2｜复数的乘法法则—(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i复数的除法法则—=+i复数的辐角主值复数的辐角复数的模——全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem代数形式与三角形式的互化a+bi=r(cosθ+sinθ)(r=)r1(cosθ+isinθ1)·r2(cosθ2+sinθ2)=r1r2［cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)］复数三角形式的乘法法则复数乘法的几何意义：将向量a+bi逆时针旋转θ得(a+bi)(cosθ+isinθ)

5、复数的三角形式Z=r(cos+sin)棣莫佛定理［r(cosθ+sinθ)］n=rn(cosnθ+isinnθ)=［cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)］复数三角式的除法法则复数除法的几何意义：将向量a+bi顺时针方向旋转θ得=(a+bi)(cosθ-sinθ)—若Z=r(cosθ+sinQ)则Z的几次方根为xr=(cos+isin)k=0.1.2…(n-1)复数三角式的开方法则二项方程的解法实系数一元二次方程的虚根求法三、知识点、能力点提示复数是一个重要内容，解决复数问题，通常是运用代数形式把它转化为实数问题去解决；运用三角形式把

6、它转化成三角问题去解决；运用向量及其几何形式把它转化为平面几何问题或解析几何问题去解决，有时需要运用复数本身一些特有形式如共轭运算，模运算等。复数沟通了代数、三角、几何之间的联系，因而复数问题的解法往往综合性强且构思巧妙，方法灵活，复数运算中，求值是最常见的，不仅要用到复数的几种形式，而且有时需运用代数中的换元法及整体变形，或综合运用其他知识，如：求最值常用基本不等式，函数方法，复数还常用到数列，二项式定理等知识。全方位课外辅导体系ComprehensiveTutoringOperationSystem复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有

7、联系，最本质的运算方式是代数形式的运算。多样性的运算使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中选择较好的方式，运算常用的结论：1.(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i(a+bi)+(a-bi)=2a(a,bR)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a+bi)2=a2-b2+2abi(a,bR)(a-bi)2=a2-b2-2abi(a,bR)等2.i4k=1,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=i(bN)3.Z+=2ReZZ-=2ImZi(其中ReZ,ImZ分别表示复数Z的实部和虚部)4.Z·=｜Z｜2=｜｜25.设w

8、=-+i则w3=1,1+w+w2=0,=w2=6.=±=()=(Z2≠0)7.｜Z1·Z2｜=｜Z1｜·｜Z2｜｜｜=(Z2≠0)8.Z=ZR9.Z=-Z=ki(kR)=Z10