等差数列与等比数列的证明方法

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1、等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。一、定义法.证明数列是等差数列的充要条件的方法：.证明数列是等差数列的充分条件的方法：.证明数列是等比数列的充要条件的方法：.证明数列是等比数列的充要条件的方法：（n>2，为常数且≠0）注意事项：用定义法时常采用的两个式子和有差别，前者必须加上“”，否则时无意义，等比中一样有：时，有（常数）；②时，有（常数）．例1.设数列中的每一项都不为0。证明：为等差数

2、列的充分必要条件是：对任何，都有。证明：先证必要性设为等差数列，公差为d，则当=0时，显然命题成立当≠0时，∵∴再证充分性：∵………①∴………②②﹣①得：两边同以得：………③同理：………④③—④得：即：为等差数列例2.设数列的前n项和为，试证为等差数列的充要条件是。证：）若为等差数列，则……，故（）当n≥2时，由题设，所以同理有从而整理得：an+1－an=an－an－1，对任意n≥2成立.从而{an}是等差数列.例3.已知数列是等比数列（），是其前n项的和，则，…，仍成等比数列。证明一：（1）当q=1时，结论显然成立；（2）当q≠1时，∴=∴成等比数

3、列.证明二：－=－===同理，－==∴成等比数列。二、中项法(1).(充要条件)若(注：三个数为等差数列的充要条件是:)(充分条件)2()是等差数列，（2）.(充要条件)若是等比数列(充分条件)（n≥1）是等比数列，注:是a、b、c等比数列的充分不必要条件是a、b、c等比数列的必要不充分条件.是a、b、c等比数列的充要条件.任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac＞0，则等比中项一定有两个.三、通项公式与前项和法1.通项公式法（1）.若数列通项能表示成（为常数）的形式，则数列是等差数列。(充要条件)(2).若通项能表示成(均为不为0的常数，)的形式

4、，则数列是等比数列．(充要条件)2.前项和法(1).若数列的前项和Sn能表示成(a，b为常数)的形式，则数列是等差数列；(充要条件)(2).若Sn能表示成(均为不等于0的常数且q≠1)的形式，则数列是公比不为1的等比数列．(充要条件)四、归纳—猜想---数学归纳证明法先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“时命题成立”到“时命题成立”要会过渡．五、反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得

5、到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．六、等差数列与等比数列的一些常规结论若数列是公比为的等比数列，则（1）数列（为不等于零的常数）仍是公比为的等比数列；（2）若是公比为的等比数列，则数列是公比为的等比数列；（3）数列是公比为的等比数列；（4）是公比为的等比数列；（5）在数列中，每隔项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为；（6）若成等差数列时，成等比数列；（7）均不为零时，则成等比数列；（8）若是一个等差数列，则正项数列是一个等比数列．若数列是公差为等差数列，则（1）成等差数列，公差为（其中是实常数

6、）；（2），（为常数），仍成等差数列，其公差为；（3）若都是等差数列，公差分别为，则是等差数列，公差为；（4）当数列是各项均为正数的等比数列时，数列是公差为的等差数列；（5）成等差数列时，成等差数列．