2020_2021学年新教材高中数学第6章平面向量及其应用6.4.3第2课时正弦定理学案含解析新人教A版必修第二册20210330220.doc

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1、考试.ks5u.第2课时　正弦定理学习目标核心素养1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点)2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)1.通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养．2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养.古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据．当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求

2、解出河面的宽度CD．问题：你知道古埃及人是如何利用这些数据计算的吗？正弦定理条件在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c结论＝＝文字叙述在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等思考：如图，在Rt△ABC中，，，各自等于什么？-9-/9考试[提示]　＝＝＝c.拓展　正弦定理的变形若R为△ABC外接圆的半径，则(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(3)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c；(4)＝2R.1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)正弦定理不适用直角三角形．(

3、　　)(2)在△ABC中，bsinA＝asinB总成立．(　　)(3)在一确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一定值．(　　)[答案]　(1)×　(2)√　(3)√2．在△ABC中，下列式子与的值相等的是(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．C　[由正弦定理得，＝，所以＝.]3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于(　　)A．5B．10C．D．5-9-/9考试B　[由正弦定理得，b＝＝＝10.]4．在△ABC中，若a＝3，b＝，A＝，则C＝________.[由正弦定理得：＝，所以sinB＝.又a>b，所以A>B，所以B＝，所

4、以C＝π－＝.]定理证明【例1】　在钝角△ABC中，证明正弦定理．[证明]　如图，过C作CD⊥AB，垂足为D，D是BA延长线上一点，根据正弦函数的定义知：＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，＝sinB．∴CD＝bsinA＝asinB．∴＝.同理，＝.故＝＝.-9-/9考试1．本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．2．要证＝，只需证asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都对应CD．初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力．1．如图，锐角△ABC

5、的外接圆O半径为R，证明＝2R.[证明]　连接BO并延长，交外接圆于点A′，连接A′C，则圆周角∠A′＝∠A．∵A′B为直径，长度为2R，∴∠A′CB＝90°，∴sinA′＝＝，∴sinA＝，即＝2R.用正弦定理解三角形【例2】　已知△ABC中，a＝10，A＝30°，C＝45°，求角B，边b，c.[思路探究]　①角A，B，C满足什么关系；②105°可拆分成哪两个特殊角的和；③由正弦定理如何求得b，c的值．-9-/9考试[解]　∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，又由正弦定理得：c＝＝10.b＝＝＝20sin(60°＋45°)＝5(＋

6、)．∴B＝105°，b＝5(＋)，c＝10.1．正弦定理实际上是三个等式：＝，＝，＝，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个．2．适用正弦定理的两种情形：(1)已知三角形的任意两角与一边．(2)已知三角形的任意两边与其中一边的对角．2．已知B＝30°，b＝，c＝2，求A，C，a.[解]　由正弦定理得：sinC＝＝＝，∵c>b,0°

7、式？这些变形形式有什么功能？[提示]　由＝2R，＝2R，＝2R可以得到的变形：sinA＝，a＝2RsinA；sinB＝，b＝2RsinB；sinC＝，c＝2RsinC．由这些变形形式，我们可以实现三角形中边、角关系的转化．【例3】　在△ABC中，若sinA＝2sinBcosC，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状.[解]　法一：(利用角的互余关系)根据正弦定理，得＝＝，∵sin2A＝sin2B＋sin2C，∴a2＝b2＋c2，∴A是直角，B＋C＝90°，∴2sinBcosC＝2sinBcos(90°－B)＝2sin2B＝sinA＝1，∴s

8、inB＝.∵0°