第03讲三角形中的变换.docx

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1、精品资源第03讲三角形中的变换（一）知识归纳：在三角形中有下述重要的公式与定理：设△ABC中，角A、B、C的对边为a、b、c，①【内角和定理】A+B+C=π②【正弦定理】abc2R（R为外接圆半径）sinAsinBsinC③【余弦定理】a2b2c22bccosA或cosAb2c2a22bc④【面积公式】1absinCabcrs（其中r为内切圆半径，s1(ab)S4R2c）2（二）学习要点：1．边角互换：三角形中的变换问题，除了需要运用三角式变换的所有方法、技巧外，还经常需要考虑对条件或结论中的“边”与“角”进行互换，即运用“正弦定理、余理定理或面积公式”将边换成角，或将角换成边.2

2、．结合图形：有些问题还应考虑结合图形并运用“正弦定理、余弦定理或面积公式”建立关系式.【例1】在△ABC中，求证：[证法一]（考虑“角换边”）accosBsinB.bccosAsinA左边=2RsinA2RsinCcosBsin(BC)sinCcosB2RsinB2RsinCcosAsin(CA)sinCcosA(sinBcosCcosBsinC)sinCcosBsinBcosCsinB右边；=cosCsinA)sinCcosAcosCsinAsinA(sinCcosA[证法二]（考虑“角换边”）acc2a2b2a2b2c2bsinB左边=2ca2a右边.bcb2c2a2b2a2

3、c2asinA2bc2b[评析]证法一将等式转化为三角式，并进行三角式变换；而证法二是将等式转化为代数式，并进行代数式变换；在解决问题题应估计这两种方法的难易程度，准确作出决策.欢迎下载精品资源【例2】解答下列述问题：（Ⅰ）△ABC中，若tanBcos(CB)，试确定△ABC的形状.sin(CsinAB)sinBcos(CB)sinBcosCcosBsinCsinB[解析]sin(CB)sin(CB)cosB2sinCcosBcosB2sinBsinCcosCcosBsinCsinBcos(BC)00BC,BC,∴△ABC为直角三角形.23（Ⅱ）在△ABC中，已知（a+b+c）(a

4、+b－c)=3ab，sinAsinB，试判断三角形的形状.4[解析]由（a+b+c）(a+b－c)=3ab(ab)2c23aba2b2c2ab,a2b2c21∴cosC2ab∵0°

5、角形形状的情况增加或减少.【例3】解答下列问题：（Ⅰ）在△ABC中，已知最大内角A是最小内角C的两倍，三边的长a，b，c是三个连续的正整数，求各边的长.[解析]∵最小边为c，∴b=c+1，a=c+2，∵A=2C，B=180°－（A+C）=180°－3C，∴c2ccosCc2①，sin2CsinC2c(c1)2(c2)2c2而cosC2(c1)(c2)②,由①、②得c2c26c52340(c1)(c4)0,c=4，b=5，a=6.cc23ccc2欢迎下载精品资源（Ⅱ）在△ABC中，已知b=1，c=2，角A的平分线ta23,求a及三内角的大小.3△△△ABC，∴1sinA1btaA1b

6、csinA，[解析]如图，SABD+SACD=Scta22sin222∴43234cosAcosA3A60,33222∴ab2c22cosA3,222∴abc，∴C=90°，bc综上，a3,A=60°，B=30°，C=90°.[评析]在例3中，问题都与图形有关，应根据图形的特点正确选择公式、定理建立起边、角关系.【例4】解答题述问题：（Ⅰ）在△ABC中，已知sinAcos2CsinCcos2A3sinB,222（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）求角B的取值范围.[解析]（1）sinA1cosCsinC1cosA3sinB222sinAsinCsin(AC)3sinBsinAs

7、inC2sinBac2b,∴a、b、c成等差数列；（2）cosBa2c2(a2c)23(a2c2)2ac6ac2ac1,2ac8ac8ac2∵B∈（0，π），∴0＜B≤60°，∴角B的取值范围是0,.3（Ⅱ）在Rt△ABC中，已知cosA+8cosB+cosC=4，试求外接圆半径R与内切圆半径r之比R:r.[解析]∵cosA+cosC=4不能成立，∴B≠90°，由对称性，设A=90°，∴8cosB+cosC=48cb4b=4a－8c，代入c2+b2=a2得65c2－6