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《函数求值域方法之值域换元法.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、函数求值域方法之值域换元法求值域的方法有很多，在众多的方法中，换元法是比较常用且非常有效的求解值域的办法，这里，给大家总结五种常见的换元方法，欢迎大家补充。五种常见换元办法：①一般换元法；②三角换元法(难度较大)；③三角换常值换元法；④双换元法；⑤整体换元法类型一：一般换元法形如：y=ax+b二cxd方法：本形式下，部分函数在取值区间内，单调性确定，所以可以直接使用单调性判断，单调性无法确定的时候，本题可使用一般换元的思路，令t=Jcx+d,用t表示x,带入原函数得到一个关于t的二次函数，求解值域即可。例1:求函数f(x)=x-4x^1的值域分析：本题x『1,一),
2、在取值区间内，x单调增，Vx%单调增，两个单调增的函数相减无法直接判断单调性，所以单调性无法确认，考虑使用一般换元。角单：另t=JxT(t之0),贝Ux=t2+1,代入f(x)得f(x)=t2—t+1(t>0)本题实求二次函数在指定区间内的范围当t2o,f（x）之3-可编辑修改-一3所以f(x)[-,二)4变式：求函数f(x)=x+Jx—1的值域分析：本题xw[1,"),在取值区间内，x单调增，、仅二1单调增，两个单调增的函数相加，所以整个函数在取值区间上单调递增所以“乂)之”1)即可答案：f(x)[1,二)由于一般换元法相对来说比较简单，这里就不赘述，留一道练习练
3、习：求f(x)=2x+3—X3x+1的值域类型二：三角换元记住一句话：三角换元一个大原则，三个常用公式A、一个大原则：x有界，换成sine,cos8x无界，换成tan^B、三个常用公式：①遇到x2,且前面系数为-1,常用sin2H+cos2日=11②遇到x2,且前面系数为1,常用一2-=1+tan26cosUe2tan—③巧用万能公式：sin-=2—211tan—2,2^1-tan—cos二22[1tan-2三角换元时，尤其注意确定好日的取值范围，下面用具体的例题跟大家说明-可编辑修改-例2:求f(x)=x+Ji—x2的值域分析：本题若使用一般换元法，则只能得到x2
4、与t2之间的关系，操作起来比较麻烦，换元法本身的目的就是要使得题目变得更为简单便捷，所以一般换元法失灵，考虑使用三角换元，因为x2前面的系数是-1,所以使用公式①换元解：令x=sinH,丁1—x2之0,，xw[—1,1],asine€[_i,i]另日w[—万，万](原因：方便后面化出来的cose,不用讨论正负性了)代入f(x),得f(x)=sin8+Ji—sin2日=sin日+
5、cos日
6、,Fw[-：(],二f(x)=sin0+cos6辅助角公式，合一变形得：f(x)=T2sin(8+()(8w[-[[])二二3二_日+一旬―一,一],二f(x)-[-1,V2]44
7、4变式：求f(x)=x+V2-x2的值域分析：另x=j2sin8即可答案：[-22],r.x21.，…,例3:求f(x)=的值域x-1分析：本题x2前面的系数是1,所以考虑使用公式②解：x21-0,x-1=0,.x=1jrJijiJia，z)U"-可编辑修改-f(x)=:.2.tan11tan1-112_.cosvsin[-cos]cos二TtJTJTJT:8w(-一,一)U(一,一),8-一((--,0)U(0,一)24424442f(X)1，F]U(…变式：求f(x)=.x2+2X+1的值域X1分析：x2+2x>0,x#-1,..,.x之0或x<-2,x+1之1
8、或x+1<-11-1<——£1,但#0,使用三角公式x1具体过程问群主哟答案：f(x)[-、2-1]-[1,、2]例4:3x-xf(x)-2412x2x4的值域分析：本题是高次式求值域，通过常规的解法很难操作，因而我们通过转化，进行三角换元，再求解值域。解:f(x)=x(x2-1)(x21)2xx2-1x21x21到这一步以后，自然而然想到我们的第三个三角公式一万能公式e2tan-sin)*1tan—2,211-tan一八9cos1=2211tan—2-可编辑修改--可编辑修改-_12xx2-1f(x)=二.2上/；22x11-x-可编辑修改-对f(x)再进行转化☆
9、x=tan?,xR,二(--,-)22f(x)=1〜1.=—sii2日(一co23)=——sin4624.1141(22)f(x)[77]类型三：三角换常值换元法本类型主要是三角函数求值域下的一类，由于涉及换元，所以在本专题下讲解，此类题目主要是针对分式形式的三角函数，用到的换元方法是万能公式的逆向应用。2_-由于——三一^=sinH,翌~-=cos9,可令t=tan2H,则sh日,cosB就转化成1tan22^1tan22^了关于t的函数，再根据一般函数求解值域的办法求解(在另外专题中讲解)sinx例5:求f(x)=的值域2—cosx分析：本题解法颇多，这里主
