2021年新高考数学复习考点扫描15 三角函数的图象与性质（解析版）.doc

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1、考点15三角函数的图像和性质【考点剖析】1.最新考试说明：(1)考查三角函数的值域与最值；【2020年高考北京卷14】若函数的最大值为，则常数的一个取值为．【答案】【解析】∵，则，，∴，∴．【专家解读】本题考查了三角函数最值求法，考查辅助角公式，考查数学运算、数学建模等学科素养．解题关键是正确运用有关公式合理转化．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数的最小值为___________．【答案】【解析】，，当时，，故函数的最小值为．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式

2、，得到关于的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．【2018全国卷Ⅱ】若在是减函数，则的最大值是A．B．C．D．【解析】解法一，且函数在区间上单调递减，则由，得．因为在上是减函数，所以，解得，解法二因为，所以，则由题意，知在上恒成立，即，即，在上恒成立，结合函数的图象可知有，解得，所以，所以的最大值是，故选A．【2017山东】设函数，其中．已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个

3、单位，得到函数的图象，求在上的最小值．【解析】（Ⅰ）因为，所以由题设知，所以，．故，，又所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，所以．因为，所以，当，即时，取得最小值．(2)考查三角函数图象及单调性、奇偶性、周期性；【2020年高考全国Ⅰ卷文理数7】设函数在的图像大致如下图，则的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】C【思路导引】由图可得：函数图像过点，即可得到，结合是函数图像与轴负半轴的第一个交点即可得到，即可求得，再利用三角函数周期公式即可得解．【解析】由图可得：函数图像过点，将它代入函数可得：，又是函数图像与轴负半

4、轴的第一个交点，∴，解得：，∴函数的最小正周期为，故选C．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是三角函数图象对称性的应用．【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数，则（）A．的最小值为B．的图像关于轴对称C．的图像关于直线对称D．的图像关于直线对称【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C，D．【解析】可以为负，所以A错；关于原点对称；故B错；关于直线对称，故C错，D对

5、，故选：D．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．【2020年高考天津卷8】已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A．①B．①③C．②③D．①②③【答案】B【思路导引】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可．【解析】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，

6、得到的图象，故③正确．故选B．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数图像变换，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质、三角函数图象变换有关结论．2.命题方向预测：(1)三角函数的最值以及三角函数的单调性是历年高考的重要考点.(2)利用三角函数的单调性求最值、利用单调性求参数是重点也是难点.(3)题型不限，选择题、填空题、解答题都有可能出现，常与多个知识点交汇命题.3.课本结论总结：(1)由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两

7、种变换方式：①先相位变换再周期变换(伸缩变换)：；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．(2)的性质：①定义域为R，值域为；②是周期函数，最小正周期为；③在单调递增，在单调递减；④当时，；当时，；⑤其对称轴方程为,对称中心坐标为.(3)的性质：①定义域为R，值域为；②是周期函数，最小正周期为；③在单调递增，在单调递减；④当时，；当时，；⑤其对称轴方程为,对称中心坐标为.（4）的性质：①定义域为

8、，值域为；②是周期函数，最小正周期为；③在单调递增；④其对称中心坐标为.4.名师二级结论：（1）由y＝sinx的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是

9、φ

10、个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．（2）在由图象求三角函数解析式时，