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1、向量复一.向量有关概念：1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2.零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；uuu财3.单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与AB共线的单位向量是AB）;
2、AB
3、4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a//b，规定零向量和任何向量平行。注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等
4、；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线但两条直线平行不包含两条直线重合；r③平行向量无传递性！（因为有0）；uuuuur④三点AB、C共线ABAC共线；6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。【练习】1.下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（刊若rAl§DC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若ab,bc，则ac。（6）若a//b,b//c，则a//c。其中正确的是二.向量的表示方法：1.几何表示法：用带箭
5、头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2.符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3.坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a=x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a,有且只有一对实数1、2，使a=e+2e2。DECruuurulltrra,BEb,则BC可用向量a,b表示【练习】
6、rrrrrr1、若a(1,1),b(1,1),c(1,2)，如何用a，b表示c?2、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是iticiruur8(0,0),e2(1,2).e(1,2)©(5,7)uinitui13e1(3,5),e2(6,10).e(2,3)©H,-)24iliituuuuuir3、已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线，且AD为(答：—a4b)；134、在平行四边形ABCD中，点E和F分别是边CD和BC的中点,且=m+n，其中m，n€R，贝Um+n=.5、在边长为2的菱形ABCD中，BAD=60，E为CD中点，AE与BD相交于点F,
7、（1）UULffUULTUUUT用AB,AD表示AF。（2）求出.一.实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a,它的长度和方向规定如rraa2当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时,下：1方向相反，当=0时，a0,二.平面向量的数量积：注意：a工0。rrUUUruuur0称为向量a,b，作OAa,Obb,AOB,b同向，当=时，a,b反向，当=_时，a,b垂a的方向与a的2量a,b的夹角，当=0时，a直。2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a，叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：与任一向量的数量积是【练习】它们的夹角为a?b，即a?b=0,注
8、意数量积是一个实数，不再是一个向量rrab我们把数量
9、a
10、
11、b
12、coscos规定：零向量1、△ABC中,IABI3,
13、AC
14、4,
15、BC
16、5，贝UABBC2、已知a1r(1,/b(0,rrrmrrrur尹akb,dab，c与d的夹角为-，则k等于(答：-9);(答:1)；3、已知4、已知a,b是两个非零向量，且rrabab，则a与ab的夹角为ab等于（答：•一23）;1.两个向量的夹角：对于非零向①ab②当a,r2raja.a2;当a与b反向时,rrab2，特别地，arraba?b=分条件；当为钝角时，a?bv0，且a、b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件；rr
17、a?brrrrr；r:④
18、a?b
19、
20、a
21、
22、b
23、。③非零向量a，b夹角的计算公式：cos1、已知a(,2)，b(3,2），如果a与b的夹角为锐角，则（答：的取值范围是414或0且1）；33（答：30°）3.b在a上的投影为
24、b
25、cos，它是一个实数，但不一定大于0。12练习：已知
26、a
27、3，
28、b
29、5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为—（答：一）51.a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模
30、a
31、与b在a上的投影的积。2.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，贝rra?b0；b同向时，a?b=;当为锐角时，a?b>0,且a、b不同向，ab0是为锐角的必
32、要非充2、
