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1、讲义（二）-----平面向量一．知识梳理1.向量的加法与减法2.实数与向量的积实数与向量的积是一个向量，记作．它的长度与方向3.⑴平面向量基本定理：如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使得(2)平面向量的坐标表示分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于一个向量，有且只有一对实数x、y，使得＝x＋y．我们把(x、y)叫做向量的直角坐标，记作．并且
2、
3、＝4.平面向量的坐标运算：若＝(x1、y1)，＝(x2、y2)，λ∈R，则：＋＝－
4、＝λ＝·＝已知A(x1、y1)，B(x2、y2)，则＝．5.向量数量积的性质：设、都是非零向量，θ是与的夹角．(1)⊥(3)θ是与的夹角,cosθ＝．二．基础达标(1)在平面上给定非零向量满足，的夹角为，则的值为(2)，且，则与的夹角为(3)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________(4)两块斜边长相等的直角三角板拼在一起．若＝x＋y，则x＝________，y＝________(5)设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，若表示向量4a、3b－2a、c的有
5、向线段首尾相接能构成三角形，则向量c＝（6）给出下列命题：①若向量与同向，且
6、
7、＞
8、
9、，则＞．②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件．③向量∥，则向量与方向相同或相反．④向量与向量共线，则A,B,C,D四点在一条直线上．⑤起点不同，方向与模相同的几个向量是相等向量．其中正确的序号是_________4三．典型例题例1.已知
10、a
11、＝4，
12、b
13、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求
14、a＋b
15、和
16、a－b
17、例2.已知向量a＝(sin
18、θ，cosθ－2sinθ)，b＝(1,2)．(1)若a∥b，求tanθ的值；(2)若
19、a
20、＝
21、b
22、,0＜θ＜π，求θ的值例3.在中有如下结论：“若点M为的重心，则”，设a，b，c分别为的内角A，B，C的对边，点M为的重心.如果，（1）则内角A的大小（2）若a＝3，则的面积4例4.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为.（1）求
23、+
24、；（2）如图（1）所示，点在以为圆心的圆弧上运动．若其中,求的最大值？ABO（3）若点、点在以为圆心，1为半径的圆上，且，问与的夹角取何值时，的值最大？并求出这个
25、最大值.图（1）图（2）四．课后作业1.已知向量，，，若夹角为锐角，则取值范围是2.已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，则a1＋a2＋…＋an－1的坐标为3.已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AD＝2，BC＝1，P是腰DC上的动点，则
26、＋3
27、的最小值为________4.在△ABC中，M是BC的中点，
28、
29、＝1，＝2，则·(＋)＝________5.平面上有四个互异点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状是6.在□ABCD中，AB=5，AD=
30、4，点P在△BCD内（包括周界），设，则一切点（x，y）形成区域的面积为_________7.直线上有不同三点，是直线外一点，对于向量是锐角总成立，则_________________8.已知O为△ABC所在平面内一点且满足，则△AOB与△AOC4的面积之比为9.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为150°，且，．若，则的值为_________．AOBC10.已知平面上三点，满足，则11.在△ABC中，已知向量与满足·＝0且·＝，则△ABC为12.已知点P为所在平面上的一点
31、，且，其中为实数，若点P落在的内部，则的取值范围是13.△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝.(1)求·；(2)若c－b＝1，求a的值14.在中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP：PM的值.4
