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1、--平面向量复习讲义一．向量有关概念：1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB)；
2、AB
3、4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向
4、量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；6．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a。如下列命题：（1）若ab，则ab。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若ABDC，则ABCD是平行四边形。（4）若ABCD是平行四边形，则ABDC。（5）若abb,c，则ac。（6）若a/bb,/c，则a//c。其中正确的是_______（答：（4）（5））二．向量的表示方法：1．几
5、何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；2．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；3．坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。三．平面向量的线性运算：（1）向量加法：①三角形法则:（“首尾相接，首尾连”）,如图，已知向量a、ｂ.在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC叫做a与b的和，记作a
6、b定：a+0-=0+a=a,当向量a与b不共线时，a+b的方向不同向，且
7、a+b
8、<
9、a
10、+
11、b
12、；当a与b同向时，则a+b、a、b同向，且
13、a+b
14、=
15、a
16、+
17、b
18、，--------1----当a与b反向时，若
19、a
20、>
21、b
22、，则a+b的方向与a相同，且
23、a+b
24、=
25、a
26、-
27、b
28、；若
29、a
30、<
31、b
32、，则a+b的方向与b相同，且
33、a+b
34、=
35、b
36、-
37、a
38、.结论：abab②平行四边形法则:以同一起点的两个向量为邻边作平行四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应向量就是和向量。③加法的运算律1）向量加法的交换律：a+b=b+a2）向量加法的结合律：(a+
39、b)+c=a+(b+c)（2）向量减法：向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：ab=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.1.用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：若b+x=a，则x叫做a与b的差，记作ab2.求作差向量：已知向量a、b，求作向量ab∵(ab)+b=a+(b)+b=a+0=aaOa作法：在平面内取一点O，bb作OA=a，OB=b则BA=abab即ab可以表示为从向量b的终点指向向量Ba的终点的向量.由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。注意：1AB
40、表示ab.强调：差向量“箭头”指向被减数2用“相反向量”定义法作差向量，ab=a+(b)B’Baba+(b)----bOa----bbA----B2----课堂练习：1.化简：①ABBCCD___；②ABADDC____；③(ABCD)(ACBD)_____（答：①AD；②CB；③0）；2.若正方形ABCD的边长为1，ABa,BCb,ACc，则
41、abc
42、＝_____（3）向量数乘：求实数λ与向量a的积的运算1．.λa
43、＝
44、λ
45、_
46、a
47、_______；2．当λ>0时，λa的方向与a的方向___相同_；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反____；
48、当λ＝0时，λa＝0____3．向量数乘的运算律λ(μa)＝_（λμ）a______；(λ＋μ)a＝___λa＋μa__；λ(a＋b)＝__λa＋λb_____。（4）共线向量定理a是一个非零向量，若存在唯一一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线．（证明三点共线）三点A、B、C共线AB、AC共线。注意：(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的`区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数，λ，使λλ121a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅
49、当λ＝1λ＝20时成立，则向量a、b不共线．例1.设两个非零向量a与b不共线，(1)→→＝2a＋→若AB＝a＋b，BC8b，CD＝3(a
