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《2021_2022学年高中数学第一章数列3.1.2等比数列的性质教师用书教案北师大版必修5202103112142.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考第2课时等比数列的性质学习目标1.理解等比数列的函数特性(数学抽象)2.掌握等比中项的定义并能应用定义解决问题(数学抽象)3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系并解决相应的问题(逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.等比数列{an}中,若公比q>1,则数列{an}是单调递增数列吗?2.任意两个数都有等差中项,任意两个数都有等比中项吗?1.等比数列的增减性(1)q<0时,{an}是摆动数列.(2)00,则{an}是减数列,若a1<0,则{an}是增数列.(3)q=1时,{an}是常数列,不具有增减性.(4)q>1
2、时,若a1>0,则{an}是增数列,若a1<0,则{an}是减数列.等比数列的公比对等比数列项的符号有怎样的影响?提示:由等比数列的定义可知:(1)当q=1时,等比数列是一个常数列,各项都等于首项a1.(2)当q=-1时,等比数列是一个摆动数列,奇数项为a1,偶数项为-a1.一般地,q>0时,等比数列各项的符号相同;q<0时,等比数列各项的符号正负交替.2.等比中项(1)前提:在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列.-10-/10高考(2)结论:G叫作a,b的等比中项.(3)满足关系式:G2=ab.“G是a与b的等比中项”的等价
3、形式有哪些?提示:G是a与b的等比中项,等价于a,G,b(或b,G,a)成等比数列,等价于G2=ab.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)等差数列的增减性只由公差决定,等比数列的增减性也只由公比决定.( )(2)任意两个数都有等差中项,也都有等比中项.( )(3)等差中项是唯一的,等比中项也是唯一的.( )(4)若G2=ab,则a,G,b一定成等比数列.( )提示:(1)×.还必须考虑首项的符号.(2)×.只有两个同号的数才有等比中项.(3)×.若两个数有等比中项,一定是互为相反数的两个.(4)×.当a,G,b都不为
4、零时,a,G,b才成等比数列.2.已知等比数列{an},a1=1,a3=,则a5等于( )A.±B.-C.D.±【解析】选C.根据等比数列的性质可知,a1a5=,a5==.3.等比数列{an}的公比q=-,a1=,则数列{an}是( )A.递增数列B.递减数列-10-/10高考C.常数数列D.摆动数列【解析】选D.因为公比q=-<0,所以数列{an}是摆动数列.4.(教材二次开发:习题改编)等比数列{an}中,若a1=2,且{an}是递增数列,则数列{an}的公比q的取值X围是. 【解析】因为a1=2>0,要使{an}是递增数列,则需
5、公比q>1.答案:(1,+∞)关键能力·合作学习类型一等比数列性质的应用(逻辑推理)1.在等比数列{an}中,a3=16,a1a2a3…a10=265,则a7等于. 【解析】因为a1a2a3…a10=(a3a8)5=265,所以a3a8=213,又因为a3=16=24,所以a8=29.因为a8=a3·q5,所以q=2.所以a7==256.答案:2562.在各项均为正数的等比数列{an}中,若a3a5=4,则a1a2a3a4a5a6a7=. 【解析】因为a3a5==4,an>0,所以a4=2.所以a1a2a3a4a5a6a7=(a1a7)·
6、(a2a6)·(a3a5)·a4=43×2=128.答案:1283.(2020·余姚高一检测)已知等比数列,若a5=2,a9=32,则a4·a10=( )A.±16B.16C.±64D.64【解析】选D.因为为等比数列,且a5=2,a9=32,由等比数列的性质得,a4·a10=a5·a9=2×-10-/10高考32=64.4.已知等比数列,满足log2a3+log2a10=1,且a3a6a8a11=16,则数列的公比为( )A.4B.2C.±2D.±4【解析】选B.等比数列中,log2a3+log2a10=1⇒log2(a3a10)=
7、1⇒a3a10=2①,a3a6a8a11=16⇒=16,由等比数列各项正负性的性质可知:a3,a11同号,故a3a11=4②,②除以①,得:等比数列的公比q==2.等比数列的常用性质性质1:通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N+).性质2:若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则ak·al=am·an.性质3:若{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan},,{},{an·bn},仍是等比数列.类型二等比中项的应用(逻辑推理)【典例】三个正数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,
8、3,9就成等比数列,求这三个数.【思路导引】设成等差数列的数为未知数,然后利用等比数列的知识建立方程组求解.另外,对本题若设所求三数为a,b,c,则列出三个方程求解,运算过程冗繁,因此在计算过
