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《2021_2022学年高中数学第一章数列2.1.2等差数列的性质学案含解析北师大版必修5202103151236.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高考第2课时等差数列的性质学习目标1.掌握等差数列的图像和性质(数学抽象)2.掌握等差中项的概念,会求等差中项(数学抽象)3.能解决与等差数列有关的实际问题(逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系?2.若数列{an}中,an是an-1和an+1的等差中项,那么数列{an}是等差数列吗?为什么?(1)等差数列的图像.由an=dn+(a1-d),可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,其中公差d是该直线的斜率.(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像.
2、由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d.当d>0时,{an}为递增数列,如图(甲)所示.当d<0时,{an}为递减数列,如图(乙)所示.当d=0时,{an}为常数列,如图(丙)所示.高考【思考】已知等差数列通项公式an=dn+b(其中d,b为常数),如何判断数列的单调性?提示:观察n的系数d,当d>0时,递增;当d<0时,递减;当d=0时,为常数列
3、.2.等差中项如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项.如果A是a与b的等差中项,那么A=.【思考】“A是a与b的等差中项”的等价形式有哪些?提示:A是a与b的等差中项,等价于a,A,b(或b,A,a)成等差数列,等价于A=.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)等差数列的单调性只取决于公差d.( )(2)等差数列的公差可以由等差数列中的任意两项求出.( )(3)等差数列中,a2+a4=a6.( )(4)等差数列中若am+an=ap+
4、aq,则m+n=p+q.( )提示:(1)√.等差数列的公差是等差数列的图像所在直线的斜率,决定了其单调性.(2)√.公差d=.(3)×.在非零常数列中就不成立.(4)×.在常数列中就不一定成立.2.已知数列1,a,5是等差数列,则实数a的值为( )A.2B.3C.4D.【解析】选B.由等差中项的定义知2a=1+5=6,所以a=3.高考3.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=( )A.12B.16C.20D.24【解析】选B.因为数列{an}是等差数列,所以a2+a10=a
5、4+a8=16.4.(教材二次开发:习题改编)等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是. 【解析】因为{an}为等差数列,所以a7+a9=a4+a12,所以a12=16-1=15.答案:15关键能力·合作学习类型一等差数列的性质(逻辑推理)【典例】1.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法.p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{an+3nd}是递增数列.其中正确的是( )A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3
6、D.p1,p42.在等差数列{an}中,若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.【思路导引】1.判断每一个数列中后一项与前一项的差的正负.2.应用性质:若m+n=p+q,则am+an=ap+aq,可得a3,进而求出公差.【解析】1.选D.因为an=a1+(n-1)d,d>0,所以an+1-an=d>0,命题p1正确.nan=na1+n(n-1)d,所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d(n≥2)与0的大小和a1的取值情况有关.高考故数列{nan}不一定递增,命题p2不正确.对于p3:=+
7、d,所以-=(n≥2),当d-a1>0,即d>a1时,数列递增,但d>a1不一定成立,则p3不正确.对于p4:设bn=an+3nd,则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0.所以数列{an+3nd}是递增数列,p4正确.综上,正确的命题为p1,p4.2.因为a1+a6=a4+a3=9.所以a3=9-a4=9-7=2.由此可得d=a4-a3=7-2=5.所以a9=a4+5d=32.【解题策略】等差数列性质的应用技巧已知等差数列的两项和,求其余几项和或者求其中某项,对于这类问题,在解题过程中通常要考
8、虑利用等差数列的性质,尤其要注意利用性质“若m,n,p,k∈N+,且m+n=p+k,则有am+an=ap+ak,其中am,an,ap,ak是数列中的项.特别地,当m+n=2p时,有am+an=2ap”,从而将问题解决.【跟踪训练】高考(2020·某某高一检测)已知为等差数列,a3=4,a5+a7=10,则a9的值为( )A.4B.5C.6D.7【解题指南】由题意利用等差数列的性质可得a9的值.【解析】选C.由等差数列的性质有:a3+a9=
