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《2021_2022学年高中数学第一章数列2.2.2等差数列习题课学案含解析北师大版必修5202103151238.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、高考第2课时等差数列习题课学习目标1.掌握an与Sn的关系,会由Sn求an.(数学运算)2.掌握与等差数列前n项和有关的数列求和.(数学运算)3.能够应用等差数列前n项和公式解决实际问题.(数学建模)关键能力·合作学习类型一已知Sn求an(数学运算)【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?【思路导引】由Sn的定义可知,当n=1时,S1=a1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1,即an=【解析】根据Sn=a1+a2+…+an-1+an与Sn-1=a1+a2+…+an
2、-1(n≥2),可知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-=2n-,①当n=1时,a1=S1=12+×1=.也满足①式,所以数列{an}的通项公式为an=2n-.由此可知,数列{an}是一个首项为,公差为2的等差数列.高考【解题策略】由Sn求an的方法(1)an与Sn的关系:an=当n=1适合于an时,则a1可以统一到an(n≥2,n∈N+)的形式中,而不用写成分段函数形式.若n=1不适合an,则通项公式应写成分段函数形式.(2)等差数列{an}中,若d≠0,则Sn可写成关于n的二次函数形式,反之,若Sn=An2+Bn,那么数列{an}一定是
3、等差数列.【跟踪训练】已知数列的前n项和Sn=n2+n,则an=. 【解析】当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,n=1时,a1=2也适合an=2n,综上an=2n(n∈N*)答案:2n类型二求等差数列绝对值的前n项和(数学运算)【典例】数列{an}的前n项和Sn=33n-n2,(1)求{an}的通项公式;(2){an}的前多少项和最大;(3)设bn=
4、an
5、,求数列{bn}的前n项和Sn′.【思路导引】(1)利用Sn与an的关系求通项,也可由Sn的结构特征求a1,d,从而求出通项
6、.(2)利用Sn的函数特征求最值,也可以用通项公式找到通项的变号点求解.(3)利用an判断哪些项是正数,哪些项是负数,再求解,也可以利用Sn高考的函数特征判断项的正负求解.【解析】(1)方法一:(公式法)①当n≥2时,an=Sn-=34-2n,②当n=1时,a1=S1=32=34-2×1,满足an=34-2n.所以{an}的通项公式为an=34-2n.方法二:(结构特征法)由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数,所以{an}是等差数列,由Sn的结构特征知解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.(2)方法一:(公式法)令an
7、≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,所以数列{an}的前17项大于或等于零,又a17=0,所以数列{an}的前16项或前17项的和最大.方法二:(函数性质法)由y=-x2+33x的对称轴为x=.距离最近的整数为16,17.由Sn=-n2+33n的图像可知:当n≤17时,an≥0,当n≥18时,an<0,所以数列{an}的前16项或前17项的和最大.(3)由(2)知当n≤17时,an≥0;当n≥18时,an<0.所以当n≤17时,Sn′=b1+b2+…+bn=
8、a1
9、+
10、a2
11、+…+
12、an
13、=a1+a2+…+an=Sn=33n-n2.高考当n≥18时
14、Sn′=
15、a1
16、+
17、a2
18、+…+
19、a17
20、+
21、a18
22、+…+
23、an
24、=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn=n2-33n+544.所以Sn′=【解题策略】数列{
25、an
26、}的前n项和的三种类型的求解策略(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{
27、an
28、}就等于数列{an},可以直接求解.(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两段处理.(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有
29、限项为负数,其余都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.【跟踪训练】等差数列{an}中,a1=-10,d=2,则数列{
30、an
31、}的前3项的和S3=,前8项的和S8=. 【解析】a1=-10,d=2,所以an=-10+2(n-1)=2n-12,a6=0,故S3=
32、-10
33、+
34、-8
35、+
36、-6
37、=24,S8=
38、a1
39、+
40、a2
41、+
42、a3
43、+…+
44、a6
45、+
46、a7
47、+
48、a8
49、=-a1-a2-…-a6+a7+a8=36.答案:2436类型三等差数列前n项和的应用(数学建模)角度1 等差数列前n项和的实际应用 【典例】高考如图所示,有一块菜地共有20畦,每畦长12米
50、,宽1.5米,离菜地18米处有一个池塘,浇水的人从池塘挑一担水,绕着第1畦菜地走一圈,浇完第1畦菜,然后他返
