2020_2021学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.1.3基本初等函数的导数学案含解析新人教B版选择性必修第三册202103151118.doc

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1、高考6．1.3　基本初等函数的导数最新课程标准1.会用导数的定义求函数的导数．2．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)3．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)[教材要点]知识点一　函数的导数如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x________的，则称f(x)在区间(a，b)可导．这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个________．于是，在区间(a，b)内，f′(x)构成一个新的函数，把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为____________．知识点二　几个常用函数的导数原函数导函数f(

2、x)＝c(c为常数)f′(x)＝________f(x)＝xf′(x)＝________f(x)＝x2f′(x)＝________f(x)＝f′(x)＝________f(x)＝f′(x)＝知识点三　基本初等函数的导数公式原函数导函数y＝cy′＝________y＝xn(n∈N＋)y′＝________，n为正整数y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q)y′＝________，μ为有理数y＝ax(a＞0，a≠1)y′＝________y＝exy′＝________y＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)y′＝________y＝lnxy′＝________y＝sinxy′＝_

3、_______高考y＝cosxy′＝________[基础自测]1．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝，则y′＝；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是(　　)A．1B．2C．3D．02．给出下列命题：①y＝ln2，则y′＝；②y＝，则y′＝－；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝.其中正确命题的个数为(　　)A．1B．2C．3D．43．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于(　　)A.　B．10C．10ln10　　D.4．已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝，则α等于(　　)A.B.C.D.题型一　利用导数公

4、式求函数的导数例1　求下列函数的导数：高考(1)y＝x12；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.　首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．方法归纳1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．跟踪训练1　若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,则f′(x)－g′(x)＝________.题型二　利用公式求函数在某点处的导数

5、例2　质点的运动方程是s＝sint，求质点在t＝时的速度．　先求s′(t)，再求s′.方法归纳1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．高考跟踪训练2　(1)求函数f(x)＝在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cosx在处的导数．题型三　求曲线过某点的切线方程1．若函数y＝f(x)在点x0处的导数存在，则曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程是什么？[提示]　根据直线的点斜式方程，得切线方程为y－f(x0)＝

6、f′(x0)·(x－x0)．2．曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？[提示]　不一定，切线只是一个局部概念，是该点处的割线的极限位置，在其他地方可能还有一个或多个公共点．3．函数在某点处的导数与导函数有什么区别和联系？[提示]　区别：函数在某点处的导数是一个定值，导函数是一个函数．联系：函数f(x)在x0处的导数就是导函数f′(x)在x＝x0时的函数值．例3　已知曲线f(x)＝.(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．高考　(1)点A不在曲线上，设切点坐标，写出切线方程，把A(1,0)代入求出切点坐标，进而求出切线方程．(2)

7、设出切点坐标，由该点斜率为－，求出切点，进而求出切线方程．方法归纳1．求曲线过已知点的切线方程的步骤2．若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．跟踪训练3　试求过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程．题型四　导数公式的应用　点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．[提示]　如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，高考∴ex0＝1，得