2020_2021学年新教材高中数学第六章导数及其应用6.2.1导数与函数的单调性学案含解析新人教B版选择性必修第三册20210326266.doc

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1、高考6.2　利用导数研究函数的性质6.2.1　导数与函数的单调性新版课程标准学业水平要求1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系2.能利用导数研究函数的单调性3.对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间1.借助教材实例了解函数的单调性与导数的关系.(数学抽象)2.能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间.(数学运算)3.能利用导数研究与函数单调性相关的问题.(数学运算、逻辑推理)必备知识·素养奠基1.函数f(x)的单调性与导函数f′(x)正负之间的关系在区间(a,b)内导数正负曲线状态单调性f′(x)>0曲线y=f(x)在

2、区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都大于0,曲线呈上升状态增函数f′(x)<0曲线y=f(x)在区间(a,b)对应的那一段上每一点处切线的斜率都小于0,曲线呈下降状态减函数-13-/13高考　(1)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)>0,则f(x)在(a,b)上是增函数”,反之,若f(x)在(a,b)上是增函数,能推出在(a,b)上恒有f′(x)>0吗?提示:不能,若f(x)在(a,b)上是增函数,则在(a,b)上恒有f′(x)≥0.(2)“若函数y=f(x)在区间(a,b)上恒有f′(x)<0,则f(x)在(a,b)上是

3、减函数”,反之,若f(x)在(a,b)上是减函数,能推出在(a,b)上恒有f′(x)<0吗?提示:不能,若f(x)在(a,b)上是减函数,则在(a,b)上恒有f′(x)≤0.(3)在(a,b)上存在f′(x)恒等于0的函数吗?提示:存在,这样的函数是常数函数f(x)=C.2.函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一个函数f在某一X围内导数的绝对值为,则函数值的变化函数的图象越大在这一X围内变化得较快比较“陡峭”(向上或向下)越小在这一X围内变化得较慢比较“平缓”为什么

4、f′(x)

5、越大,函数递增(或递减)越快,其图象越陡峭?提示:

6、f′(x)

7、越大,说明

8、函数的瞬时变化率越大,即函数值的变化越快,其图象越陡峭.1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)因为′=-<0恒成立,所以函数y=在(-∞,+∞)上单调递减.(　　)-13-/13高考(2)因为′=1+>0,所以函数y=x-在(-∞,+∞)上单调递增.(　　)(3)函数f(x)=x2+2x-3的导数f′(x)=2x+2是增函数,所以函数f(x)=x2+2x-3在(-∞,+∞)上是增函数.(　　)提示:(1)×.因为函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由′=-<0恒成立,所以函数y=在(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数.(2)×.因为

9、函数y=x-的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),由′=1+>0恒成立,所以函数y=x-在(-∞,0)和(0,+∞)上是增函数.(3)×.因为f′(x)=2x+2,所以当x∈(-∞,-1)时,f′(x)<0,当x∈(-1,+∞)时,f′(x)>0,即函数f(x)=x2+2x-3在x∈(-∞,-1)上是减函数,在x∈(-1,+∞)上是增函数.2.函数y=x-lnx的单调递减区间为(　　)A.(-1,1]　　　　　　B.(0,+∞)C.[1,+∞)D.(0,1]【解析】选D.函数的定义域为(0,+∞),令y′=1-=≤0,解得x∈(0,1],所以函数的单调

10、递减区间为(0,1].关键能力·素养形成类型一导数与函数图象的关系【典例】1.已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′-13-/13高考(x)的图象如图所示,则该函数的图象是(　　)2.函数f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能是(　　)3.函数y=f(x)在定义域内可导,其图象如图,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)<0的解集为________. 【思维·引】导函数图象在x轴下方,函数递减,导函数图象在x轴上方,函数递增.【解析】1.选B.在区间(-1,1)上,f′(x)>0,因此函数

11、y=f(x)在区间(-1,1)上为增函数,易知四个选项都符合.在区间(-1,0)上,f′(x)是增函数,故y=f(x)在区间(-1,0)上增加得越来越快,函数图象应为指数增长的模式;在区间(0,1)上,-13-/13高考f′(x)是减函数,故y=f(x)在区间(0,1)上增加得越来越慢,函数图象应为对数增长的模式.2.选D.从函数y=f(x)的图象可以看出,其在区间(-∞,0)上是减函数,f′(x)<0;在区间(0,x1)上是增函数,f′(x)>0;在区间(x1,x2)上是减函数,f′(x)<0;在区间(x2,+∞)上是增函数,f′(x)>0.结合选项

12、可知,只有D项满足.3.函数y=f(x)在区间和区间(2,3)上是减函数,所以在区间和区间(2