最新复变函数3：ppt教学讲义PPT课件.ppt

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1、复变函数3：ppt重点内容:(1)柯西定理(单、复连通区域);(2)柯西积分公式(单、复连通,无界区域);定义2.1.1有向曲线在讨论复变函数积分时，将要用到有向曲线的概念，如果一条光滑或逐段光滑曲线规定了其起点和终点，则称该曲线为有向曲线，曲线的方向是这样规定的：(1)如果曲线是开口弧段，若规定它的端点为起点，为终点，则沿曲线从到的方向为曲线的正方向（简称正向），把正向曲线记为或.而由到的方向称为的负方向（简称负向），负向曲线记为.2.1复变函数的积分定义2.1.3闭合环路积分当L为封闭曲线时，那么沿L的积分为，并称为复变函数的闭合环路积分（简称环路积分）.为了方便

2、，我们还可以在积分中标出环路积分的方向,若沿逆时针方向积分，可用环路积分表示.若沿顺时针方向积分，可用表示.由此可知，当，且小弧段长度的最大值时，不论对L的分法如何，点的取法如何，只要上式右端的两个和式极限存在，那么左端的和式极限也存在，由于连续，则都是连续函数，根据曲线积分存在的充分条件，以及曲线积分的定义得到(2.1.1)即我们可以把复积分的计算化为两个二元实变函数的曲线积分．为便于记忆公式，可把理解为，则上式说明了两个问题：(1)当是连续函数，且L是光滑曲线时，积分一定存在；(2)可以通过两个二元实变函数的线积分来计算.2.1.2复积分的基本性质(1)若沿可积，

3、且由和连接而成，则（2.1.2）(2)常数因子可以提到积分号外，即（2.1.3）(3)函数和（差）的积分等于各函数积分的和（差），即(4)若积分曲线的方向改变，则积分值改变符号，即（2.1.4）为的负向曲线．(5)积分的模不大于被积表达式模的积分，即(2.1.5)这里表示弧长的微分，即【证明】因为，其中分别表示曲线上弧段对应的弦长和弧长，两边取极限就得到（6）积分估值定理若沿曲线，连续，且在上满足，则(2.1.6)其中为曲线的长度．【证明】由于在上恒有，所以又，则成立。2.1.3复积分的计算典型实例公式（2.1.1）提供了一种复积分的计算方法，即把复积分的计算转化为两

4、个二元实函数的曲线积分．当曲线积分的积分路径C由参数方程给出时，复积分又可以转化为单变量的定积分．2.2柯西定理早在1825年柯西给出了如下定理，它是复变函数论中的一条基本定理，现称为柯西积分定理（简称柯西定理）．定理2.2.1柯西积分定理如果函数在单连通区域内及其边界线L上解析（即为在单连通闭区域解析），那么函数沿边界L或区域内任意闭曲线的积分为零，即（2.2.1）或（2.2.2）证明：如图2.2所示，由于对函数在闭区域解析概念的理解，故函数的导数即在区域内部及其边界是存在的，而且可以证明也是连续的．再根据格林定理有由于函数在闭区域解析，故满足C-R条件代入即得如果

5、我们在该闭区域内任选某一单连通闭区域，其边界为．由上述推导中将,则同理可证明故结论成立.这个定理是柯西(Cauchy)于1825年发表的，古莎(Goursat)于1900年提出了修改，故又称为柯西－古莎定理.说明：[1]函数在单连通区域D内及闭曲线L上解析，即为在闭区域解析，我们应该理解为函数在比边界稍大一些的区域内部也是解析的；[2]边界正方向规定：当沿边界线环行时，其边界线所包围的解析区域始终在左边，则前进的方向为边界线的正方向．据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方向．而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正

6、方向．（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边界线的正方向）；[3]格林（Green）定理（或格林公式：在单连通区域内，若有连续的偏导数，则其中L是区域的边界；[4]进一步指出，经修改后的柯西－古萨积分定理成立的条件可以弱化为在区域内解析，在边界上连续．以后使用中，当满足此条件时柯西积分定理仍然成立．2.2.2不定积分：复积分的牛顿－莱布尼兹公式定理2.2.3由定理2.2.2知道，解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关，假设是区域内连接和的两条简单曲线，则和分别称为积分的上限和下限，当下限固定，而上限在内变动时，积分可以看作是上限的函数，记为对，有以下

7、的定理．定理2.2.4如果在单连通域内处处解析，则在D内也解析，并且定理2.2.5任何两个原函数相差一个常数．【证明】若均为的原函数，则利用原函数这个关系，我们可以得出：定理3.2.6若函数在单连通域内处处解析，为的一个原函数，那么其中,为中任意两点．上式称为复积分的牛顿－莱布尼兹公式：2.2.3复合闭路定理不失一般性，取n＝1进行证明.有下述定理：（1）（2）定理设L和为复连通区域内的两条简单闭曲线，如图2.5所示，在L内部且彼此不相交，以和L为边界所围成的闭区域全含于D．则对于区域D内的解析函数有总结：单连通和复连通区域的柯西定理可以表述为：(i