2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式1学案含解析新人教A版必修第一册202103091147.doc

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1、高考2．3　二次函数与一元二次方程、不等式(1)内　容　标　准学　科　素　养1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系．数学抽象直观想象逻辑推理、数学运算2.掌握图象法解一元二次不等式．3.会对含参数的一元二次不等式分类讨论.授课提示：对应学生用书第24页[教材提炼]知识点一　一元二次不等式的概念我们知道，方程x2＝1的一个解是x＝1，解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立．那么什么是不等式x2＞1的解？你能举出一个解吗？你能写出不等式x2＞1的解集吗？　　　知识梳理　(1)一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式

2、，称为一元二次不等式(quadricinequalityinoneunknown)．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0，其中a，b，c均为常数，a≠0.(2)一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．即一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点．知识点二　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系函数y＝x2－1的零点与方程x2－1＝0及不等式x2－1＞0解之间有什么关系？　　　知识梳理　(1)-11-/11高考Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax

3、2＋bx＋c(a＞0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x

4、x＜x1，或x＞x2}{x

5、x≠－}Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x

6、x1＜x＜x2}∅∅(2)不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的求解方法Δ＞0Δ＝0-11-/11高考Δ＜0[自主检测]1．不等式x＞x2的解集是(　　)A．{x

7、x＞1}　　　　B．{x

8、x＜0}C．{x

9、0＜x＜1}D．R答案：C2．不等式x2＋6x＋10＜0的解集是(　　)A．∅B．RC．{

10、x

11、x＞5}D．{x

12、x＜2}答案：A3．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a＜0，那么ax2＋bx＋c＞0的解集为(　　)A．{x

13、x＞3或x＜－2}B．{x

14、x＞2或x＜－3}C．{x

15、－2＜x＜3}D．{x

16、－3＜x＜2}答案：C4．不等式－x2＋x－2＜0的解集为________．答案：R授课提示：对应学生用书第25页探究一　一元二次不等式的解法-11-/11高考[例1]　解下列不等式．(1)－x2＋2x－＞0；(2)－x2＋3x－5＞0；(3)4x2－18x＋≤0.[解析]　(1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2＜0，∵3＞0，Δ＝36－

17、24＝12＞0，且方程3x2－6x＋2＝0的根是x1＝1－，x2＝1＋.∴原不等式的解集是{x

18、1－＜x＜1＋}．(2)不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－4×10＝－4＜0，∴原不等式的解集为∅.(3)不等式可化为16x2－72x＋81≤0，即(4x－9)2≤0，∵4x－9＝0时，x＝.∴原不等式的解集为{x

19、x＝}.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.-11-/11高考

20、1．求不等式2x2－3x－2≥0的解集．解析：∵2x2－3x－2＝0的两解为x1＝－，x2＝2，且a＝2＞0，∴不等式2x2－3x－2≥0的解集是.2．解不等式－x2＋2x－3＞0.解析：不等式可化为x2－2x＋3＜0.因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅.探究二　含参数的一元二次不等式[例2]　解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R)．[解析]原不等式可化为(x－a)(x－a2)＞0.当a＜0时，a＜a2，原不等式的解集为{x

21、x＜a，或x＞a2}；当a

22、＝0时，x2＞0，原不等式的解集为{x

23、x≠0}；当0＜a＜1时，a2＜a，原不等式的解集为{x

24、x＜a2，或x＞a}；当a＝1时，a2＝a，原不等式的解集为{x

25、x≠1}；当a＞1时，a＜a2，原不等式的解集为{x

26、x＜a，或x＞a2}．综上所述：当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x

27、x＜a，或x＞a2}；当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x

28、x＜a2，或x＞a}；当a＝0时，解集为{x

29、x≠0}；当a＝1时，解集为{x

30、x≠1}．-11-/11高考解含参数的不等式，可以按常规思路进行：先考虑开口方向，再考虑判别式的正负，最后考虑两根的大小关系，当遇到不确

31、定因素时再讨论．将本例不