2020_2021学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2.3二次函数与一元二次方程不等式2学案含解析新人教A版必修第一册202103091148.doc

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1、高考2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(2)内 容 标 准学 科 素 养1.会解简单的分式不等式.数学运算数学建模2.通过三个“二次间的关系”解简单一元二次不等式恒成立问题.3.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以求解.授课提示:对应学生用书第27页[教材提炼]知识点一 分式不等式的解法不等式>1与x<1等价吗?>1的解集应是什么?   知识梳理 一般的分式不等式的同解变形法则(1)>0⇔f(x)·g(x)>0;(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0.知识点二 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立问题

2、(1)∀x∈R,x2-c>0,c取何值?(2)∀x∈R,ax2+1>0,a取何值?   知识梳理 一元二次不等式恒成立的情况:(1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立⇔;-7-/7高考(2)ax2+bx+c≤0(a≠0)恒成立⇔.[自主检测]1.已知不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值X围是(  )A.-4≤a≤4     B.-4<a<4C.a≤-4或a≥4D.a<-4或a>4答案:A2.不等式>1的解集为________.答案:{x

3、0<x<1}3.对∀x∈R,x2-a>0恒成立,则a的取值X围为_______

4、_.答案:a<04.要使有意义,则x的取值集合为________.答案:R授课提示:对应学生用书第28页探究一 解简单的分式不等式[例1] 解不等式.(1)<0;(2)≤2.[解析](1)由<0,得>0.此不等式等价于(x+2)(x-1)>0.∴原不等式的解集为{x

5、x<-2或x>1}.-7-/7高考(2)法一:移项,得-2≤0,左边通分并化简,得≤0,即≥0,它的同解不等式为∴x<2或x≥5.原不等式的解集为{x

6、x<2或x≥5}.法二:原不等式可化为≥0.此不等式等价于①或②解①,得x≥5.解②,得x<2.∴原不等式的解集为

7、{x

8、x<2或x≥5}.1.对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解,但要注意分母不为零.2.对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分(不要去分母),使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解.解不等式(1)>0;(2)>1.-7-/7高考解析:(1)原不等式等价于⇔,或.解得x>3或-2<x<1.∴原不等式的解集为{x

9、x>3,或-2<x<1}.(2)原不等式可化为-1>0,即<0,等价于(3x-2)(4x-3)<0.∴<x<.∴原不等式的解集为.探究二 不等式恒成立问题[例

10、2][教材P52例3拓展探究](1)不等式x2-2x+3>0的解集是什么?[解析]由于x2-2x+3=(x-1)2+2>0恒成立.∴x∈R.解集为R.(2)若不等式x2+ax+3>0的解集为R,求a的X围.[解析]设y=x2+ax+3,要使x2+ax+3>0的解集为R∴Δ=a2-4×3<0,解得-2<a<2.(3)若不等式ax2+2ax+3>0的解集为R,求a的X围.[解析]当a=0时,3>0,x∈R.当a>0时,Δ=4a2-12a<0∴0<a<3.当a<0时,不成立.综上,0≤a<3.对于一元二次型不等式恒成立,注意参数的讨论

11、-7-/7高考ax2+bx+c>0,①a=0时,有c>0.②ax2+bx+c<0,①a=0时,c<0.②探究三 一元二次不等式的实际应用[例3] 某文具店购进一批新型台灯,若按每盏台灯15元的价格销售,每天能卖出30盏;若售价每提高1元,日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入,应怎样制订这批台灯的销售价格?[解析]设每盏台灯售价x元,则x≥15,并且日销售收入为x[30-2(x-15)]元,由题意知,当x≥15时,有x[30-2(x-15)]>400,解得15≤x<20.所以为了使这批台灯每天获得40

12、0元以上的销售收入,应当制订这批台灯的销售价格控制在集合{x

13、15≤x<20}.用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤(1)理解题意,搞清量与量之间的关系;(2)建立相应的不等关系,把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题;(3)解这个一元二次不等式,得到实际问题的解.-7-/7高考 某电动车生产企业,上年度生产电动车的投入成本为1万元/辆,出厂价为1.2万元/辆,年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品档次,适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1),则出厂价相应的提高比例为0.75x,同

14、时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,问投入成本增加的比例x应在什么X围内?解析:(1)由题意,得y=[1.2×(1

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