高等数学二重积分概念.ppt

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1、三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算二重积分的概念与性质第十章解法:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：顶:侧面：求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”xOy面上的闭区域D连续曲面以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面类似定积分解决问题的思想:1)“大化小”以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体用曲线网分D为n个区域任意4)“取极限”令则曲顶柱体的体积为：2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xOy平面上占有区域D

2、,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”相应把薄片也分为小块.用曲线网分D为n个小区域任意2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的定义及可积性定义将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的

3、有界函数,在D上的二重积分.引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划二重积分存在定理:若函数定理2(证明略)定理1在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有7.(二重积分的中值定理)证由连续函数介值定理,至少有一点在闭

4、区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此由性质6可知,例1其中解它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上比较下列积分的大小:积分域D的边界为圆周例2估计下列积分之值解由于积分性质5即:1.96I2DD的面积为例3判断积分的正负号.解则原式=猜想结果为负但不好估计.舍去此项分积分域为8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底

5、为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算记作例4解利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.设两个直圆柱方程为内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法被积函数相同,且非负,思考与练习解由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

6、D为解又D的面积为1,故结论成立.利用题中x,y位置的对称性,有补充题1.的值,其中D为解被积函数D的面积的最大值的最小值估计2.判断的正负.解当时，故又当时，于是