最新第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)ppt课件.ppt

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1、第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)主要内容二阶张量的矩阵正则与退化的二阶张量二阶张量的不变量二阶张量的标准型几种特殊的二阶张量二阶张量的分解正交相似二阶张量二阶张量的矩阵二阶张量的分量包含协变、逆变和两种混变形式以上四种分量形式对应着张量的四种矩阵形式其中，矩阵是最重要的张量矩阵。WHY?二阶张量的转置张量正则与退化的二阶张量行列式值不为零的二阶张量T称为正则的，否则称为退化的。二阶张量将整个矢量空间中的任意矢量映射为矢量。任意二阶张量将零矢量映射为零矢量：任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集：正则与退化的二阶张量3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v

2、，w映射为另一矢量组，满足：正则二阶张量的特性：正则的二阶张量T的转置张量TT也是正则的，正则的二阶张量T存在唯一的逆T-1。二阶张量T是正则的充要条件是，当且仅当。单射性。若，则满射性。若，则存在唯一的逆变换二阶张量的不变量（代数）力学是用张量的不变量写成的！Gorldan猜想：代数结构中有无穷多不变量，但基本不变量只有有限个。埃米·诺特EmmyNoether（1882-1935）伟大的抽象代数之母诺特，石破天惊的思想：任何对称性，都对应某种形式的守恒律！！二阶张量的不变量（代数）二阶张量T的标量不变量：对应静水应力）（力学中，二阶张量的不变量（代数）二阶张量T的三个主不变量：二阶

3、张量T的矩：二阶张量的不变量（代数）二阶张量T的三个主不变量与各阶矩之间的关系以及二阶张量的不变量（代数）二阶张量T与三个线性无关矢量间的线性变换正则二阶张量，有Nanson公式二阶张量的标准形:张量最简单的形式实对称二阶张量的标准形简单的例子复杂应力状态分析中的主应力应力张量的三个主方向是正交的。对称二阶张量必定存在一组正交基矢量，，，使得则为N的主分量，，，为N的主方向。二阶张量的标准形:张量最简单的形式实对称二阶张量的标准形存在以下等式：特征方程，λ即N的特征值，a即N的特征向量。分量形式利用指标升降关系a为非0矢量利用主不变量特征值为什么是三个？二阶张量的标准形:张量最简单的形式

4、非对称二阶张量请研究以下领域的同学关注。1、应变梯度理论，偶应力理论2、电流场，电磁流变（有旋场）几种特殊的二阶张量零二阶张量O度量张量G几种特殊的二阶张量二阶张量的幂正整数次幂零次幂负整数次幂几种特殊的二阶张量正张量：N>0的对称二阶张量非负张量：N≥0的对称二阶张量对称二阶张量总可以化为：对称二阶张量为正张量的充要条件：对称二阶张量为非负张量的充要条件：几种特殊的二阶张量非负张量的方根可证明：非负张量的任意次方根几种特殊的二阶张量正张量的对数非负张量的构造：任意二阶张量T正张量的构造：正则二阶张量T几种特殊的二阶张量反对称二阶张量Ω二阶张量T可加法分解为对称张量N和反对称张量Ω几种特

5、殊的二阶张量反对称二阶张量Ω只有3个独立分量线性变换：主不变量：反偶矢量：ϵϵ几种特殊的二阶张量反对称二阶张量Ω的标准形→只有一个实根对应特征方向，轴向，零向实数标准形可证：几何意义！整体绕轴旋转90度，扩大倍几种特殊的二阶张量正交张量Q：对应着标架的刚性旋转最简单的坐标变换椭圆曲线的坐标变换正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式变换为最简形式，即两主轴坐标系下形式。几种特殊的二阶张量正交张量Q正交张量的定义和性质几种特殊的二阶张量正交张量只有一个实特征根对应特征方向，轴向实数标准形可证：整体绕轴向旋转一个角度几种特殊的二阶张量正交张量对应的正交变换的特性保内积性质保长度性质保角度性质

6、保面积（体积）二阶张量的分解二阶张量的加法分解任意二阶张量T均可进行对称化与反对称化运算：位移场梯度变形对称：应变反对称：刚体转动对称部分N可再进行分解：P为球形张量，D为偏斜张量。二阶张量的分解二阶张量的加法分解性质P只有一个独立的主不变量，特征矢量任意。D只有两个独立的主不变量，特征方向与N同，特征方程：二阶张量的分解二阶张量的加法分解力学中的变形机制：：由产生的应变能密度可分解为：：由体积变形引起；P：体积变形——由压力引起D：剪切变形——塑形变形：由形状变形引起。P：体积变，形状不变；D：体积不变，形状变。塑性流动条件：一般塑性流动条件：多孔介质塑性流动条件：马氏体相变塑性流动条

7、件：二阶张量的分解二阶张量的加法分解注：是二次函数，上述加法分解只在小变形时成立。原因是，在小变形情况下，球形应力张量和偏斜应力张量互相在对方的变形场上不做功，因此可用加法分解能量密度。而大变形情况会出现高度非线性，则不能用加法分解，而要用乘法分解。例如：在固体力学中，u表示位移场，则小变形情况下的应变张量为：而在大变形情况下，必须计算变形梯度张量F的极分解。二阶张量的分解二阶张量的加法分解任意二阶张量T有几个独立的不变量？N的独立